威尔逊定理 数论

最近在整理原来的一些资料，偶然想起原来搞OI时讲过一次威尔逊定理的内容，这里分享给大家

 

目录

一个实验

证明

剩余类与剩余系

缩系

证明

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数论四大定理之一

※是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明

※威尔逊定理是判定一个自然数是否为素数的充分必要条件

 

 

一个实验

十八世纪中叶，一位英国法官约翰·威尔逊爵士，发现了数论中一种极为罕见的关系：取从1到某个质数所有连续正整数的乘积，例如从1乘到11，即11的阶乘11！。显然，11！能被从1到11的所有整数整除，除去11这个数，得10！。无疑10！不能被11整除。

然而，如果给10！加上1的话，1×2×3×4×5×6×7×8×9×10＋1＝3628801，怎么也不会想到，3628801却能被11整除（3628801÷11＝329891）。类似地，从1到质数7的阶乘7！中略去7，再加上1，得1×2×3×4×5×6＋1＝721，721也能被7整除（721÷7＝103）

 

11 和 7 都是质数，研究发现，此种整除性对一切质数都成立，但对合数却不成立。下面的表格展示了这一规律：

n	(n-1)!	(n-1)!+1	[(n-1)!+1] mod n	数性
2	1	2	0	质数
3	2	3	0	质数
4	6	7	3	合数
5	24	25	0	质数
6	120	121	1	合数
7	720	721	0	质数
8	5040	5041	1	合数
9	40320	40321	1	合数
10	362880	362881	1	合数
11	3628800	3628801	0	质数
12	39916800	39916801	1	合数
13	479001600	479001601	0	质数
14	6227020800	6227020801	1	合数
15	87178291200	87178291201	1	合数

 

把上面所说的加以推广，就得到 威尔逊定理：

当p为质数时，(p－1)!＋1能被p整除。

威尔逊定理逆定理：

若一个数 (p－1)!＋1 能被 p 整除，那么 p 为质数

 

证明

剩余类与剩余系

我们考虑对一类数的分类规则

     ①.以除以2的余数为标准，整数可以分为两类：余数为0和余数为1

     ②.以除以3的余数为标准，整数可以分为三类：余数为0、余数为1、余数为2

 

依此推理，以除以m的余数为标准，整数可以分为m类：余数为0、余数为1、余数为2...余数为m-1

性质：每类中的数模m同余，即任取同类中数a,b，均有a ≡b(mod m)

 

 

定义：记[i]={j | j ≡i(mod m)},[i]∈Z，通俗来讲，就是所有mod m 等于i的数

[i]=[i+m]=[i-m]=[i+km]，[i]称为模m的一个剩余类

 

性质：模m的剩余类恰好有m个： [0],[1],[2]...[m-1]

 

定义：

从模m的剩余类[0]中取一个元素a0， [1]中取一个元素a1 ， . . . ， [m-1]中取一个元素am-1 ，得到m个数

                            a0， a1 ， . . . ， am-1

这样的m个数称为模m的一个完全剩余系

 

性质：

这m个数对m作带余除法得到的余数恰好是0,1，...，m-1

这m个数两两对m取模不同余

 

给出模5的一个完全剩余系

模5的剩余类是[0],[1],[2],[3],[4]，我们从每个集合中选取一个元素，可以是：

                                         0,1,2,3,4

上面那个完全剩余系称为模5的最小非负剩余系

 

当然也可以是：

                                         5,1,2,3,4

这个被称为模5的最小正剩余系

 

缩系

通过大量的实践发现：

在模m的一个剩余类中，若有一个数与m互素，则该剩余类中每个数都与m互素，称此剩余系与m互素。φ(m)是m的欧拉函数，函数的值为对于正整数m，小于或等于m的数中与m互质的数的数目。

在模m的完全剩余系中，有φ(m)个数是与m互素的，称这φ(m)个数构成模m的一个缩系

模7的缩系为：{1,2,3,4,5,6}， φ(7)=6

模8的缩系为：{1,3,5,7}， φ(8)=4

 

性质：若

是模m的缩系，则

也为模m的缩系（gcd(a,m)=1）

 

证明

回顾威尔逊定理：当p为质数时，(p－1)!＋1能被p整除

当p=2时，威尔逊定理显然成立

当p>=3时，若p为素数，取集合A={2,3,...,p-2}，由定义得知，则该集合A为p的一个缩系，在此时有性质：对于任意i∈A，存在j∈A，使得i*j ≡1(mod p)

这里搬运一个当时找到的该性质证明供参考：

补充说明一下：上述不定方程：ij+pk=1中的j不可能为p的整数倍mp。简证之：假设j=mp，则有i(mp)+pk=1,即(im+k)p=1,而素数p>=2，im+k为整数，所以方程不成立。所以，ij+pk=1中的j不可能为p的整数倍mp

 

将元素1和p-1单独考虑，发现1×(p-1) ≡(p-1) mod p

而p为素数，除了2为偶素数外，其余均为奇素数，那么p-3在p>=3意义下一定为偶数，则集合A能满足两两配对使得

 i*j ≡1(mod p)

即：

故定理得证

 

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题解：

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