二进制数的反码和补码

在大学的学习中，一开始自认为已经学会了反码与补码，但在看到多种表述之后，反而是越来越乱，疑惑越来越多，即使记住了之后又会混淆，今天又看到了一次，为了防止以后再次忘记，写这篇博客记录一下（记录过程依据《数字电子技术（第十版）》，中英文结合）
首先从最一般的意义上，分别说一下二进制的反码和补码：

1、反码 (1’s complement)

把所有的0变为1，所有的1变为0。
如：
10110010 Binary number
01001101 1’s complement

2、补码 (2’s complement)

在反码的最低有效位上加1。
补码 = 反码 + 1
另一种求补码的方法：

1. 从右边的最低有效位开始，往左边写下它们实际的位，直到遇到第一个1（包括1）
2. 左边剩下的位求反码

如：
1011 1000 Binary number
0100 1000 2’s complement

这是在不区分正负数的情况下泛泛而谈的，其侧重点在于反码与补码如何操作，但实际上反码和补码的作用是用在带符号数上面的，下面进入重点。

3、带符号数 Signed Number

3.1 符号位 The Sign Bit

带符号的二进制的最左边的那一位就是符号位，指出这个数为正数还是负数，0表示正数，1表示负数。
下面介绍几种表示带符号数的形式。

3.2 符号数值的形式 Sign-Magnitude Form

最左边的一位是符号位，剩余的位都是数值位。其实也就是一般的带符号数的形式，数值位对于正数和负数来说都是二进制源码（in true (uncomplemented) binary）。如十进制数 +25 使用符号数值形式表示成8位带符号二进制数为：

十进制数 -25 表示为：

他们之间的唯一区别就是符号位不同。

3.3 反码形式 1’s Complement Form

正数的反码形式：与符号数值形式相同；
负数的反码形式：相应正数的反码。也就是为相应正数的符号数值形式的每一位取反。

应当注意的是并不是带符号数的反码都是每一位取反。
反码和补码其实是为了解决正数和负数的加减法运算的，所以正数其实不用做什么改变，而负数改变形式后可以巧妙解决一些运算问题。比如减去某个数和加上这个数的补码是一样的，这就是为什么计算机在所有的算术运算中都使用补码来表示负整数。
理解了反码是带符号数的一种表示形式及其目的，大概就能理解为什么正数的反码是其本身，下面要说到的补码也是一样的道理。

举例：在反码表示形式中，
十进制数 25 表示为：
00011001
十进制数 -25 表示为：
11100110

3.4 补码形式 2’s Complement Form

正数的补码形式：与符号数值形式相同；
负数的补码形式：负数的反码加1。

举例：在补码表示形式中，
十进制数 25 表示为：
00011001
十进制数 -25 表示为：
11100111

3.5 总结

对于带符号数，
正数的反码和补码与原码相同；
负数的反码等于相应正数的反码，补码等于相应正数的补码。

但这样的说法是会让人产生疑惑的，因为既然正数的反码等于原码，且负数的反码等于相应正数的反码（即等于正数的原码），那正数负数的表示不就一样了。我也觉得这种说法很有歧义，但如果把第二个反码看成是一种广义上的操作，即把每一位取反，这样就没问题了，总之只要能理解就好，有时候反码就是真的“反”码，实实在在的操作。但为了避免这种困惑，倒不如表述得更清楚直接些：

对于带符号数，
正数的反码和补码与原码相同；
负数的反码等于相应正数的符号数值形式的各个位取反，补码等于反码加1。

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如有不合理的地方，欢迎指正。