树剖学习笔记（二）—— 原理 + 复杂度证明

接上文 树剖学习笔记（一）

tid[x] 里存的是访问到 x 这个节点的时间，之后我们根据这个 tid[] 值建树，所以这个 tid[x] 就是 x 在线段树中的编号。
而 Rank[tid[x]] 就是 x 在线段树中的编号，对应在原树中的编号。

wyj 在时隔十天以后发现自己并没有理解树剖，只是会打板子了而已，于是 wyj 惨兮兮的来这里总结一下
（其实主要是因为被 小 ly D 的很惨 wyj 很不开心嘤嘤嘤TAT

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原理

树链剖分原理 —— By ACdreamers

树链剖分目的：树路径信息维护。将一颗树划分成若干条链，用数据结构去维护每条链，复杂度 O(logn)

划轻重链目的：为了让 tid 连续。
我们在用线段树维护链的时候，如果节点编号不连续，那么就无法用线段树。

第二次 dfs 就是连接重边形成重链，具体过程就是：以根节点为起点，沿着重边向下拓展，拉成重链。不在当前重链上的节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链。

也就是说如果 u -> v 是轻边，则 v 成为重链链头，在接下来“将所有重链首尾相连”的步骤时，和其他重链相连。即重链之间由一条不在重链上的边（轻边）连接。

剖分完毕后，每条重链相当于一段区间，然后用数据结构去维护，把所有重链首尾相接，放到数据结构上，然后维护整体。

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复杂度

树链剖分执行一次修改/查询的时间复杂度是 O(logn · logn)。

证明：
可以发现树链剖分的结构是 沿着链向上跳 + 线段树修改/查询。
线段树修改查询操作的时间复杂度是 O(logn)；而在树链上每走一条轻边，子树大小就 /= 2，所以最多走 log n 条轻边，复杂度 O(logn)。