非旋Treap及其可持久化

平衡树这种东西，我只会splay。splay比较好理解，并且好打，操作方便。
我以前学过SBT，但并不是很理解，所以就忘了怎么打了。
许多用平衡树的问题其实可以用线段树来解决，我们真正打平衡树的时候一般都是维护序列之类的。
维护序列时，splay特别方便，所以一般情况下打splay就好了。其它的平衡树也可以，可是如果见到翻转操作的时候，那些平衡树就会崩（至少我不知道那些平衡树有什么可以翻转的做法）。
但是splay的常数很大（常数最大的平衡树），并且有的时候需要可持久化。
这个时候就要用到非旋Treap来代替splay了。
但有的时候不能代替，比如LCT，据说只有splay才能让它达到$\lg$级别，用非旋Treap会变成${\lg }^2$。（$splay$常数大得要死，所以或许也没关系吧）
话说splay和LCT的博客我都没打，懒得打了

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Treap？

Treap=Tree+Heap
Treap上每个节点有两个值$(key,val)$，$key$满足BST的性质，$val$满足堆的性质
$val$的取值是个随机数，所以说Treap的复杂度是期望的。
Treap有带旋Treap和非旋Treap，带旋Treap似乎没什么卵用，所以直接说非旋Treap。

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非旋Treap

（下面的Treap以普通平衡树为例子，和维护序列的Treap不一样）

核心操作

$sqlit(x,p)$：将以$x$为根的树的前$p$个与后面的分开，形成两棵树，返回两棵树的根节点（有序）。
$merge(a,b)$：将以$a$和以$b$为根的子树合并，返回合并后的根节点。（保证$a$子树中所有）

$sqlit(x,p)$

判断第$p$个点在$x$的左边还是右边，然后递归下去。
回溯的时候在左边或者右边接上。
具体见代码：

inline pair<Node*,Node*> sqlit(Node *t,int p){
	pair<Node*,Node*> res(null,null);
	if (t==null)
		return res;
	if (p<=t->l->siz){
		res=sqlit(t->l,p);
		t->l=res.second;
		t->update();
		res.second=t;
	}
	else{
		res=sqlit(t->r,p-t->l->siz-1);
		t->r=res.first;
		t->update();
		res.first=t;
	}
	return res;
}

由于每次$t$必定往下递归，所以时间是$\lg$级别的。

$merge(a,b)$

首先判断如果一个为空，就返回另一个。
接下来比较$a$和$b$的$val$的大小，选取小的那个作为根，然后将儿子与另一个进行合并。
具体见代码：

inline Node *merge(Node *a,Node *b){
	if (a==null)
		return b;
	if (b==null)
		return a;
	if (a->val<b->val){
		a->r=merge(a->r,b);
		a->update();
		return a;
	}
	b->l=merge(a,b->l);
	b->update();
	return b;
}

由于每次$a$或$b$有一个要向下走，所以时间也是$\lg$级别的。

其它操作

其它操作就比较简单了。
$rank(t,key)$：找出$key$的位置（小于它的数的个数$+1$）。
$insert(t,key)$：插入$key$。
通过$rank$找出它要插入的位置。
把前面和后面分开，将其插在中间，三个合并起来。
$remove(t,key)$：删除$key$。。
通过$rank$找出它的位置。
把前面、它、后面分开，然后前面和后面合并。
$kth(t,k)$：找第$k$小
$pred(t,key)$：找$key$的前驱
$succ(t,key)$：找$key$的后继
容易发现这些都是在$\lg$级别的时间内完成的。

$build$

这个操作或许有点特殊，可以用笛卡尔树实现，时间是线性的（当$key$有序的时候）。
笛卡尔树是什么自己上网查去
考虑到我们有其它操作，所以时间还是$O(n\lg n)$级别的，所以这样建树费码量还没有多大意义，还不如一个一个插入，时间$O(n\lg n)$。
但有的时候常数折磨人，所以还是说一下吧。
建立笛卡尔树的时候，我们维护一个栈，表示最右边的那一条链。
栈底到栈顶的$val$值递增。
将新的节点插在栈顶的右儿子处，但这可能会破坏堆的性质，所以不行。
不断弹栈，直到栈顶小于这个点$val$。将点插在它的右儿子处，它原来的右儿子变成这个点的左儿子。

区间操作

首先，在维护区间的时候，所谓的$key$实际上并不存在，它具体指它们在平衡树中的位置（排名）。
区间操作的大体思想和splay是差不多的，就是截取一段区间，将它们集中在一棵子树里面，然后进行各种操作。
我们可以通过$sqlit$将这个区间分离出来，然后打上一个标记，再放回去。
当然标记会下传。
这样的时间复杂度显然是$\lg$级别的。
用这种思想来搞区间操作就可以做到翻转操作。如果用别的平衡树，可以在每个节点上维护它子树的信息，在计算的时候像线段树那样合并。可是这样搞不了翻转啊！

代码

题目是洛谷上的普通平衡树。

using namespace std;
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 100010
#define irand (rand()*32768+rand())
int n;
struct Node{
	int key,val;
	Node *l,*r;
	int siz;
	inline void update(){
		siz=l->siz+r->siz+1;
	}
} d[N];
Node *null=d;
inline pair<Node*,Node*> sqlit(Node *t,int p){
	pair<Node*,Node*> res(null,null);
	if (t==null)
		return res;
	if (p<=t->l->siz){
		res=sqlit(t->l,p);
		t->l=res.second;
		t->update();
		res.second=t;
	}
	else{
		res=sqlit(t->r,p-t->l->siz-1);
		t->r=res.first;
		t->update();
		res.first=t;
	}
	return res;
}
inline Node *merge(Node *a,Node *b){
	if (a==null)
		return b;
	if (b==null)
		return a;
	if (a->val<b->val){
		a->r=merge(a->r,b);
		a->update();
		return a;
	}
	b->l=merge(a,b->l);
	b->update();
	return b;
}
int rank(Node *t,int key){
	if (t==null)
		return 1;
	if (key<=t->key)
		return rank(t->l,key);
	return t->l->siz+1+rank(t->r,key);
}
Node *kth(Node *t,int k){
	if (k<=t->l->siz)
		return kth(t->l,k);
	if (k>t->l->siz+1)
		return kth(t->r,k-t->l->siz-1);
	return t;
}
Node *pred(Node *t,Node *res,int key){
	if (t==null)
		return res;
	if (t->key<key)
		return pred(t->r,t,key);
	return pred(t->l,res,key);
}
Node *succ(Node *t,Node *res,int key){
	if (t==null)
		return res;
	if (t->key>key)
		return succ(t->l,t,key);
	return succ(t->r,res,key);
}
int cnt;
Node *root;
int main(){
	srand(time(0));
	null->val=2147483647;
	root=null;
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int op,x;
		scanf("%d%d",&op,&x);
		if (op==1){
			int k=rank(root,x);
			pair<Node*,Node*> a=sqlit(root,k-1);
			d[++cnt]={x,irand,null,null,1};
			root=merge(merge(a.first,&d[cnt]),a.second);
		}
		else if (op==2){
			int k=rank(root,x);
			pair<Node*,Node*> a=sqlit(root,k-1),b=sqlit(a.second,1);
			root=merge(a.first,b.second);
		}
		else if (op==3)
			printf("%d\n",rank(root,x));
		else if (op==4)
			printf("%d\n",kth(root,x)->key);
		else if (op==5)
			printf("%d\n",pred(root,null,x)->key);
		else
			printf("%d\n",succ(root,null,x)->key);
	}
	return 0;
}

很短是不是？

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可持久化

可以参考一下上面的标程，我们发现那些节点不需要记录父亲。
这就是可持久化的特征啊！就像可持久化线段树一样，每个点都不需要记录父亲，在修改的时候把修改变成新建，然后新建之后照样把儿子指针连过去。
这就是非旋Treap最伟大的地方：可持久化！
在非旋Treap上面改一改，把所有的修改操作改为新建操作，就可以了。
然后你就会发现所需要的空间特别大……
以下是代码，为洛谷上的可持久化文艺平衡树：

using namespace std;
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 200010
#define irand (rand()*32768+rand())
int n;
struct Node{
    int val,v;
    Node *c[2];
    int siz;
    long long sum;
    bool rev;
    inline void update(){
        sum=c[0]->sum+c[1]->sum+v;
        siz=c[0]->siz+c[1]->siz+1;
    }
    inline void pushdown();
} d[N*100];
Node *null;
int cnt;
#define clone(t) (&(d[++cnt]=*(t)))
inline void Node::pushdown(){
    if (rev){
        if (c[0]!=null)
            c[0]=clone(c[0]);
        if (c[1]!=null)
            c[1]=clone(c[1]);
        swap(c[0],c[1]);
        c[0]->rev^=1;
        c[1]->rev^=1;
        rev=0;
    }
}
pair<Node*,Node*> sqlit(Node *t,int k){
    pair<Node*,Node*> res(null,null);
    if (t==null)
        return res;
    t->pushdown();
    if (k<=t->c[0]->siz){
        res=sqlit(t->c[0],k);
        Node *newt=clone(t);
        newt->c[0]=res.second;
        newt->update();
        res.second=newt;
    }
    else{
        res=sqlit(t->c[1],k-t->c[0]->siz-1);
        Node *newt=clone(t);
        newt->c[1]=res.first;
        newt->update();
        res.first=newt;
    }
    return res;
}
Node *merge(Node *a,Node *b){
    if (a==null)
        return b;
    if (b==null)
        return a;
    if (a->val<b->val){
    	a->pushdown();
        Node *newa=clone(a);
        newa->c[1]=merge(a->c[1],b);
        newa->update();
        return newa;
    }
    b->pushdown();
    Node *newb=clone(b);
    newb->c[0]=merge(a,b->c[0]);
    newb->update();
    return newb;
}
Node *root[N+1];
int main(){
    srand(time(0));
    null=d;
    null->val=2147483647;
    root[0]=null;
    scanf("%d",&n);
    long long lastans=0;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        int pre,op;
        scanf("%d%d",&pre,&op);
        if (op==1){
            int p,x;
            scanf("%d%d",&p,&x),p^=lastans,x^=lastans;
            Node *t=&(d[++cnt]={irand,x,null,null,1,x,0});
            pair<Node*,Node*> a=sqlit(root[pre],p);
            root[i]=merge(merge(a.first,t),a.second);
        }
        else if (op==2){
            int p;
            scanf("%d",&p),p^=lastans;
            pair<Node*,Node*> a=sqlit(root[pre],p-1),b=sqlit(a.second,1);
            root[i]=merge(a.first,b.second);
        }
        else if (op==3){
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r),l^=lastans,r^=lastans;
            pair<Node*,Node*> a=sqlit(root[pre],l-1),b=sqlit(a.second,r-l+1);
            b.first->rev^=1;
            root[i]=merge(a.first,merge(b.first,b.second));
        }
        else{
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r),l^=lastans,r^=lastans;
            pair<Node*,Node*> a=sqlit(root[pre],l-1),b=sqlit(a.second,r-l+1);
            printf("%lld\n",lastans=b.first->sum);
            root[i]=root[pre];//很容易发现合并回去和之前是一模一样的，所以直接用之前那个。
        }
    }
    return 0;
}

说实在的，这个程序的常数特别大。
在洛谷上跑得贼慢，而且还有点听天由命的味道……因为Treap是随机的，运气不好就会相差个几千毫秒。
无用的空间特别多，比如，插入操作中，从原来的树中拆出两棵树，然后合并。在上面的程序中，这两棵拆出的树也会被保存，然而我们只需要保存合并之后的树就好了。如何解决？其实可以在拆出来的时候用新建的方法，然后在合并的时候就不用新建了，像普通的非旋Treap一样。这样子可以大大地节省空间，应该也能节省时间。
只不过，不想打了啊！都已经快3000多byte了……
然后就是一个值得深思的问题，可不可以做到不下传翻转标记？上面的程序中，下传标记就要暴力地新开节点，消耗很多空间。我们能不能用标记永久化之类的思想来搞一下？我一开始就是那样打的，可不知道为什么错了，也许是我自己的方法有漏洞。
还有，询问的时候，我考虑过使用类似于线段树的操作，每个节点都可以表示成一个区间，询问区间就是几个节点的答案合并起来，显然节点的个数是$\lg$级别的。然后我打了，本来以为会快，结果……更慢了。

我觉得我很有必要重新学习一下卡常数。