多项式全家桶——Part.1 多项式加减乘

多项式全家桶它lei了。

好吧，最近发现自己的多项式芝士严重匮乏，发现只会FFT和NTT，而且还有点生疏。
那既然没事干，那就来吃吃全家桶来补充芝士储备。

多项式

多项式是一个神奇的东东。
它长这样：${\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$
好的，讲完了。

多项式加法、减法

由于多项式长这样：$\sum a_i{x}^i$
那么假设这两个多项式相加、减：$\sum a_i{x}^i、\sum b_i{x}^i$
那么结论就是：$\sum (a_i\pm b_i)x^i$

多项式乘法

这玩意长这样：$(1+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_{n-1}{x}^{n-1})(1+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_{m-1}{x}^{m-1})$
两个多项式相乘就叫做多项式乘法。
具体做法有三种，FFT、NTT 和 MTT
超强wd的博客有讲FFT

这玩意我们直接暴力求是$O(n^2)$的。
然后就出现了两个低级算法：DFT和IDFT

DFT、IDFT

DFT叫做离散傅里叶变换，IDFT则是离散傅里叶逆变换。

DFT就是将系数表示法转成点值表示法。
IDFT则是反过来。

有什么好处呢？转成点值后：
$A=(x_1,A(x_1))(x_2,A(x_2))(x_3,A(x_3))\dots \dots (x_{n-1},A(x_{n-1}))$
$B=(x_1,B(x_1))(x_2,B(x_2))(x_3,B(x_3))\dots \dots (x_{n-1},B(x_{n-1}))$

那么乘起来就是：
$A\ast B=(x_1,A(x_1)\ast B(x_1))(x_2,A(x_2)\ast B(x_2))(x_3,A(x_3)\ast B(x_3))\dots \dots (x_{n-1},A(x_{n-1})\ast B(x_{n-1}))$

这样我们可以在$O(n)$时间内做出。

然鹅朴素的DFT和IDFT还是$O(n^2)$的，那么超级算法FFT就是用来优化之的。

FFT

流程图：

单位根的性质Copy我那个被吃掉的博客：

———————————————————————————————————

1、${\omega }_n^n={\omega }_n^0=1$
2、${\omega }_n^x{\omega }_n^y={\omega }_n^{x+y}={\omega }_n^{(x+y)modn}$
因为两个相乘就相当于两个相加（显然），然后就相当于旋转了(x+y)次。如果mod一下，那么就相当于转了很多圈回到了原来的一个值。
3、${\omega }_n^x={\omega }_n^{n+x}$
证明与上面的一样。
4、群的性质：满足${\omega }_n^x<>{\omega }_n^y$当且仅当x mod n<>y mod n
5、消去引理：${\omega }_{dn}^{dx}={\omega }_n^x$
6、折半引理：$({\omega }_n^i{)}^2=({\omega }_n^{i+\frac{n}{2}}{)}^2={\omega }_n^{2i}(当2|n时)$
证明：
$\because ({\omega }_n^i{)}^2={\omega }_n^{2i}$
$\because {\omega }_n^{2i}={\omega }_n^{2i+n}=({\omega }_n^{i+\frac{n}{2}}{)}^2$
$\therefore ({\omega }_n^i{)}^2=({\omega }_n^{i+\frac{n}{2}}{)}^2$
事实上：${\omega }_n^i=-{\omega }_n^{i+\frac{n}{2}}$
很好理解恩？
7、求和引理： 对于任意正整数n和非负整数k，且n不是k的倍数时，满足：${\sum }_{i=0}^{n-1}({\omega }_n^k{)}^i=0$
证明：
运用等比数列：
$$\sum _{i=0}^{n-1}({\omega }_n^k{)}^i=\frac{1-({\omega }_n^k{)}^n}{1-{\omega }_n^k}=\frac{1-({\omega }_n^n{)}^k}{1-{\omega }_n^k}=\frac{1-1^k}{1-{\omega }_n^k}=0$$
8、不知道什么引理或定理：
${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}=-{\omega }_n^k$

———————————————————————————————————

现在我们知道了单位根的性质了。
然后我们康康FFT怎么来用单位根的性质来加速。

$$A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\ast x^i=a_0\ast x^0+a_1\ast x^1+a_2\ast x^2+\dots \dots +a_{n-1}\ast x^{n-1}$$
我们把这个玩意按照下标奇偶性来分个类。
$$\begin{gathered} =(a_0\ast x^0+a_2\ast x^2+\dots \dots +a_{n-2}\ast x^{n-2})+(a_1\ast x^1+a_3\ast x^3+\dots \dots +a_{n-1}\ast x^{n-1}) \\ =(a_0\ast x^0+a_2\ast x^2+\dots \dots +a_{n-2}\ast x^{n-2})+x\ast (a_1\ast x^0+a_3\ast x^2+\dots \dots +a_{n-1}\ast x^{n-2}) \end{gathered}$$
设
$$\begin{gathered} A1(x)=a_0\ast x^0+a_2\ast x+a_4\ast x^2+\dots \dots +a_{n-2}\ast x^{\frac{n-2}{2}} \\ A2(x)=a_1\ast x^0+a_3\ast x+a_5\ast x^2\dots \dots +a_{n-1}\ast x^{\frac{n-2}{2}} \end{gathered}$$
则
$$A(x)=A1(x^2)+x\ast A2(x^2)$$
接下来我们开始利用单位根了！

设$k<=\frac{n}{2}$，然后把${\omega }_n^k$当做$x$代入得到：
$$A({\omega }_n^k)=A1(({\omega }_n^k{)}^2)+{\omega }_n^k\ast A2(({\omega }_n^k{)}^2)$$
根据折半引理：
$$A({\omega }_n^k)=A1({\omega }_n^{2k})+{\omega }_n^k\ast A2({\omega }_n^{2k})$$
根据消去引理：
$$A({\omega }_n^k)=A1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)+{\omega }_n^k\ast A2({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$$
然后再把${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}$代入得到
$$\begin{gathered} A({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})=A1(({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}{)}^2)+{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}\ast A2(({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}{)}^2) \\ =A1({\omega }_n^{2k+n})-{\omega }_n^k\ast A2({\omega }_n^{2k+n}) \\ =A1({\omega }_n^{2k})-{\omega }_n^k\ast A2({\omega }_n^{2k}) \\ =A1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)-{\omega }_n^k\ast A2({\omega }_{\frac{n}{2}}^k) \end{gathered}$$
继而发现，上面两坨玩意儿只有一个符号变了。
意味着，求出$A1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$和$A2({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$的答案，即可求出$A({\omega }_n^k)$与$A({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})$

于是我们就可以很开心地分治了。
由于分治的常数极大，所以我这里就不贴代码了。
下面有个神奇的优化可以完善之。

IFFT

前面加了个I的东东都是原来的东东的逆运算。
所以IFFT就是将点值转为插值的算法。

哦，点值转插值，这个我会。不就是拉格朗日插值吗？
那你可去试试

反正这玩意可以有多种方法来表示，什么矩阵，什么奇怪的推柿子。
然鹅我都不肥。

那就记住结论闯天下了。

• fft过程中乘上共轭复数，然后做完后再除以n就是插值了。

证明别找我。

蝴蝶变化

迭代大法：

于是我们发现：
每个下标的二进制形式反过来就是它们最后在序列中的位置。

于是直接rush。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const double Pi=3.141592653589323846;
const int maxn=5e6;

int n,m,up,dep;
int rec[maxn];

struct node{
	double x,y;
}a[maxn],b[maxn];

node cheng(node a,node b)
{
	node c;
	c.x=a.x*b.x-a.y*b.y;
	c.y=a.x*b.y+a.y*b.x;
	return c;
}

node jia(node a,node b)
{
	node c;
	c.x=a.x+b.x;
	c.y=a.y+b.y;
	return c;
}

node jian(node a,node b)
{
	node c;
	c.x=a.x-b.x;
	c.y=a.y-b.y;
	return c;
}

void FFT(node *a,int n,int inv)
{
	if (n==1) return;
	int mid=n/2;
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		rec[i]=(rec[i>>1]>>1)|((i&1)<<(dep-1));
		if (i<rec[i]) swap(a[i],a[rec[i]]);
	}
	for (int len=1;len<=n;len<<=1)
	{
		int mid=len/2;
		node w,wn={cos(Pi/mid),inv*sin(Pi/mid)};
		for (int j=0;j<n;j+=len)
		{
			w={1,0};
			for (int i=0;i<mid;i++)
			{
				node q=cheng(w,a[j+mid+i]),p=a[j+i];
				a[j+mid+i]=jian(p,q);
				a[j+i]=jia(p,q);
				w=cheng(w,wn);
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=0;i<=n;i++)
	{
		int xx;
		scanf("%d",&xx);
		a[i].x=xx;a[i].y=0;
	} 
	for (int i=0;i<=m;i++)
	{
		int xx;
		scanf("%d",&xx);
		b[i].x=xx;b[i].y=0;
	}
	up=1;dep=0;
	while (up<=n+m) up=up*2,dep++;
	FFT(a,up,1);
	FFT(b,up,1);
	for (int i=0;i<up;i++)
	{
		a[i]=cheng(a[i],b[i]);
	}
	FFT(a,up,-1);
	for (int i=0;i<=n+m;i++)
	{
		printf("%d ",(int)(a[i].x/up+0.5));
	}
}

学习资料：
百度百科
https://www.cnblogs.com/Chandery/p/11332777.html
https://blog.csdn.net/YY_Tina/article/details/88361459
https://blog.csdn.net/enjoy_pascal/article/details/81478582
https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8244902.html#_label4

NTT

直接看这个了，自我感觉写得还阔以

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const long long mo=1004535809;
const int maxn=5e6;

int n,m,up,dep;
int rec[maxn],w[maxn];
long long a[maxn],b[maxn];

long long qsm(long long a,long long b)
{
	long long t=1;
	long long y=a;
	while (b>0)
	{
		if ((b&1)==1) t=t*y%mo;
		y=y*y%mo;
		b/=2;
	}
	return t;
}

void FFT(long long a[],int n,int inv)
{
	if (n==1) return;
	int mid=n/2;
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		rec[i]=(rec[i>>1]>>1)|((i&1)<<(dep-1));
		if (i<rec[i]) swap(a[i],a[rec[i]]);
	}
	for (int len=2;len<=n;len<<=1)
	{
		int mid=len/2;
		for (int j=0;j<mid;j++)
		{
			for (int k=j;k<n;k+=len)
			{
				int p,q;
				q=w[j*(n/len)]*a[k+mid]%mo,p=a[k];
				a[k+mid]=(p-q+mo)%mo;
				a[k]=(p+q+mo)%mo;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=0;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	} 
	for (int i=0;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&b[i]);
	}
	n++;m++;
	up=1;dep=0;
	while (up<=n+m) up=up*2,dep++;
	w[0]=1;long long rev=qsm(3,(mo-1)/up);
	for (int i=1;i<=up;i++)
	{
		w[i]=w[i-1]*rev%mo;
	}
	FFT(a,up,1);
	FFT(b,up,1);
	for (int i=0;i<up;i++)
	{
		a[i]=(a[i]*b[i])%mo;
	}
	for (int i=0;i<=up/2;i++)
	{
		swap(w[i],w[up-i]);
	}
	FFT(a,up,-1);
	for (int i=0;i<=n+m-2;i++)
	{
		printf("%d ",a[i]*qsm(up,mo-2)%mo);
	}
}

MTT

这什么毒瘤东东。
放放，有时间再学吧
ColdChair大爷