世界冰球锦标赛[折半搜索]

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题解中涉及大佬的博客

梁神
园神

题目描述

译自 CEOI2015 Day2 T1「Ice Hockey World Championship」
今年的世界冰球锦标赛在捷克举行。Bobek 已经抵达布拉格，他不是任何团队的粉丝，也没有时间观念。他只是单纯的想去看几场比赛。如果他有足够的钱，他会去看所有的比赛。不幸的是，他的财产十分有限，他决定把所有财产都用来买门票。
给出 Bobek 的预算和每场比赛的票价，试求：如果总票价不超过预算，他有多少种观赛方案。如果存在以其中一种方案观看某场比赛而另一种方案不观看，则认为这两种方案不同。

输入格式

第一行，两个正整数 N 和 $M(1\le N\le 40,1\le M\le 10^{18})$，表示比赛的个数和 Bobek 那家徒四壁的财产。

第二行，N 个以空格分隔的正整数，均不超过 $10^{16}$ ，代表每场比赛门票的价格。

输出格式

输出一行，表示方案的个数。由于 NN 十分大，注意：答案 $\le 2^{40}$。

输入输出样例

输入

5 1000
100 1500 500 500 1000

输出

8

说明/提示

样例解释
八种方案分别是：

一场都不看，溜了溜了
价格100的比赛
第一场价格500的比赛
第二场价格500的比赛
价格 100 的比赛和第一场价格 500的比赛
价格 100 的比赛和第二场价格 500的比赛
两场价格 500的比赛
价格 1000 的比赛
有十组数据，每通过一组数据你可以获得 10 分。各组数据的数据范围如下表所示：

数据组号 1-21−2 3-43−4 5-75−7 8-108−10
$N\le$ 10 | 20 | 40 |40
$M\le 10^6|10^{18}|10^6|10^{18}$

这题在不是很相信洛谷上是紫题，毕竟很快就想出来了。
当然还是得益于大佬提点我的那句：爆搜。
机房有一大佬，一日与不知何处的小学弟QQ上交流，学弟给出一题：现有一背包，背包有一承重W
有n个物品，物品有重量$v_i$，求装背包的方案数 。
$N\le 40,M\le 10^{18}$
对，就是这道题改了下描述。
当日，大佬说题难度普及，要我与其同思其解，帮学弟解疑答惑。
我信了题目的鬼，深以为是背包dp，思良久不得解。
忽另一大佬路过，听其题意后，戏笑而说：爆搜。
吾思之，N若为20，尚可枚举，今有40，不可枚举。
忽灵光一闪至，为何不从两边搜，一边搜20，复杂度岂不可过？
搜两次，统计方法答案为何？
可若第二次搜完时枚举第一次状态判断合法否，复杂度仍为$2^{40}$，吾休矣。
这时大佬突然对我施以援手：记录第一次搜的状态，排序，二分查找。
感激甚，大佬无愧于大佬，救人于水深火热之中，如菩萨降临，带众生脱离苦海。

好，
第一次搜时用a数组存下合法状态，即每次搜完后合法的门票价钱和。
对存下的状态进行递增排序
第二次时，对于每一个搜完的合法状态，我们记选择的门票为$b$；前一次搜出的状态为$a_i$
那么和并状态时，合并合法的条件是$a_i+b\le m$ 变一下就是$a_i\le m-b$
我们刚刚对a数组进行了排序，那么我们就可以找到第一个大于$m-b$的数，这个数前面的数都是合法的，
那么合法的就有改数下标-1个，直接加到答案中去即可。
这样的话我们的复杂度就是$O(2^{\frac{n}{2}}+2^{\frac{n}{2}}log(2^{\frac{n}{2}}))$
此题可过矣。
$$Code$$

#include

#define ll long long
#define MAXN 500010
#define N 201
#define INF 0x3f3f3f3f
#define gtc() getchar()

using namespace std;

template <class T>
inline void read(T &s){
	s = 0; T w = 1, ch = gtc();
	while(!isdigit(ch)){if(ch == '-') w = -1; ch = gtc();}
	while(isdigit(ch)){s = s * 10 + ch - '0'; ch = gtc();}
	s *= w;
}

template <class T>
inline void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) write(x/10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

int n;
ll m;
ll w[MAXN];
ll a[1 << 21], cnt = 0;
int mid;

void dfs(int x, ll ans){//枚举前一半
	if(ans > m) return ;//剪枝
	if(x > mid){
		a[++cnt] = ans;
		return ;
	}
//	printf("%d %d\n", x , ans);
	dfs(x+1, ans);
	dfs(x+1, ans + w[x]);
}

ll ans = 0;
void dfs2(int x, ll num){//枚举后一半
	if(num > m) return ;//剪枝
	if(x > n){//搜完后二分查找
		int tx = upper_bound(a+1, a+cnt+1, m - num) - a - 1;
		ans += tx;//累加答案
		return ;
	}
	
	dfs2(x+1, num);
	dfs2(x+1, num+w[x]);
}
int main()
{
//	freopen(".in", "r", stdin);
//	freopen(".out", "w", stdout);
	read(n), read(m);
	mid = n >> 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) read(w[i]);
	
	dfs(1, 0);
	sort(a + 1, a + cnt + 1);
	dfs2(mid + 1, 0);
	
	cout << ans << endl;
    return 0;
}