线段树和树状数组有很多相似之处,能用树状数组写的题,线段树也一定能,而树状数组又因为其用二维数组存储的关系,当数据量太大时内存可能会不够,而且也没法对区间修改,相比之下,线段树就是满满的优点了。
不过,写法复杂难懂,可能也是它的一个缺点,它至少要包括三个函数,分别是数据的初始化,数据的修改,数据的查询,我开始觉得前两个应该可以合并,就默认初始全都是0,然后把初始化的n个数据变成修改n次数据,但是关于名字的对应并不能解决,仍然需要三个函数,下面介绍这三个函数。
1.修改数据的函数:
要懂就要先知道数据是怎么保存在里面的,看下图:
左边这棵树的节点是有一个个小区间构成的,每一个父节点都以它区间中点为分界线分成两个更小的区间,这样的好处是,当我想要计算比如a[4]~a[8]的和时,就不用加4次,而是可以直接用a[4]+a[5~8],于是就节省了计算时间,但是该怎么找到自己想要的区间呢,左边这个图的名字都太复杂了,不好记。于是!右边这个图诞生了!两个图的节点是一一对应的,我们给每个节点都起了一个整数的名字,对于右边的图,有这样的分布规律:对于每一个父节点,它的左子节点是本身的两倍,右子节点是两倍加一。现在问题又来了,就是怎么让它们一一对应起来,方便之后的查找,还是这张图:
这函数有三个参数,他们分别是:要修改的数据位置,修改的值,最后这个num就是上面说的区间的名字了,里面用到了一个结构体,其定义为:
struct node {
int l;
int r;
int sum;
} t[150000];
其中l和r分别是区间的左右端点,sum是该区间上所有数的和,这个函数的出口是第三行,即:区间左右端点相同时。第四行和第五行是最核心的地方,为了便于理解,现在可以举一个具体的例子。
比如现在要修改的是a[3],修改是自增2,那么最开始调用函数时有
a=3
b=2
num=1
第2行运行之后,t[1].sum加2,因为名字为1的区间是1~8,很明显如果a[3]值加2会导致a[1]~a[8}的和也加2,
先跳过不满足条件的第三行,直接看第四行和第五行,这个if和else是对立的,因为此时num=1,区间为1~8,即
t[num].l=1
t[num].r=8
显然3<=(1+8)/2
执行第四行,递归回去,新参数变成了
a=3
b=2
num=1*2 (原来的两倍)
这相当于是在告诉电脑下一步该向左走还是向右走,这里是向左走,也就是去改变下一个包括3的区间的值,即a[1~4],向下类比递归,依次改变a[3~4]和a[3],当该区间没有儿子,即区间长度为1时,从第三行出来,整个函数才执行完毕。
哇好累喔这么点儿字敲了好几个钟头,所以要是想读懂也请花上对等时间。为了搞懂这些我痛苦地对着没有注释的30行算法干瞪了两天( •̥́ ˍ •̀ू ),然后把原来冗余的四个操作函数简化成了两个,所以不要灰心,只1个钟头就能学会算很快的啦
(= • _ • =)
2.初始化的函数:
当a==b时,区间为一个点,此时区间的和就是该点的值,即aa[a](当然写成aa[b]也是一样的),
当不相等时,就要继续递归下去,也就是第8行的内容,第六行和第七行在次之前先把
t[num+num].sum和t[num+num+1].sum求出来,第二行和第三行分别求初对应的名字。
3.查询数据的函数:
它同样用到了递归的思想,刚才我们也发现了修改时是从上向下修改的,现在统计时同样可以从上向下,先找大的,再找小的,这样可以保证所求的区间可以被切成最少的块,把这些块加一起时计算量最小,消耗的时间也最少,粗略的计算大约n个数的区间和只需要进行log2(n)次以内的加法 。
下面分析代码。
第一行的参数a,b分别是要查询的左右区间,num和Add函数里的一样,这里同样举个具体例子便于理解,设初始值
a=3
b=5
num=1
跳过第二行
第三,四,五行是对立的,这是三种情况,只要理解其中一种就能轻易理解全部。
由于此时
a>t[num].l=1
b
故执行最后的else,即把区间分成了[a,4]和[5,b]两块儿,再对这两块分别递归,得到[3,4]和[5,6],对于[3,4],明显整块都在要求的区间[3,5]里面,故执行第二行,把它作为答案的一部分加进去,而[5,6]再递归一次后只剩下5,加进去即可。到此执行完毕。返回的ans即为所求的答案。注意每次用完一定要把ans初始化为0。
下面给一个例题,加深理解:
敌兵布阵(HDU1166)
(这里开始正文)
第一行一个整数T,表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N(N<=50000),表示敌人有N个工兵营地,接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人(1<=ai<=50)。1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Query 1 3 Add 3 6 Query 2 7 Sub 10 2 Add 6 3 Query 3 10 EndSample Output
Case 1: 6 33 59
AC代码:
#include
#include
using namespace std;
struct node{int l,r,sum;} t[150000]; //存区间名字的一维数组要足够大,一般是数据量的三到四倍,
int T,n,ans,x,y,i,j,aa[50010];
char s[10];
void Begin(int a,int b,int num) { //初始化的函数,从下向上递归,把名字对应和求和融为一体
t[num].l=a;
t[num].r=b;
if(a==b) t[num].sum=aa[a];
else {
Begin(a,(a+b)/2,num+num);
Begin((a+b)/2+1,b,num+num+1);
t[num].sum=t[num+num].sum+t[num+num+1].sum;
}
}
void Add(int a,int b,int num) {
t[num].sum+=b;
if(t[num].l==t[num].r) return ;
if(a<=(t[num].l+t[num].r)/2) Add(a,b,num+num);
else Add(a,b,num+num+1);
}
void Search(int a,int b,int num) {
if(a<=t[num].l&&b>=t[num].r) ans+=t[num].sum;
else if(a>=(t[num].l+t[num].r)/2+1) Search(a,b,num+num+1);
else if(b<=(t[num].l+t[num].r)/2) Search(a,b,num+num);
else {
Search(a,b,num+num);
Search(a,b,num+num+1);
}
}
int main() {
scanf("%d",&T);
for(i=1;i<=T;i++) {
printf("Case %d:\n",i);
scanf("%d",&n);
for(j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&aa[j]);
Begin(1,n,1); //初始化
while(scanf("%s",s)!=EOF) {
if(s[0]=='E') break;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(s[0]=='S') y=-y; //把减变成加
if(s[0]=='Q') {
ans=0; //初始化,很重要
Search(x,y,1);
printf("%d\n",ans);
}
else Add(x,y,1);
}
}
}
如果说希望你能从中有所收获那全是骗人的,我是害怕自己忘了这个知识用来给以后的自己看的,顺便写博客的过程也可以加深记忆,虽然写了很多但我还是省略了很多懒得说的东西,所以想看懂的话如果事先没有一定程度的基本了解还是不行的。