ACM算法总结 生成函数
也叫母函数，常用来解决组合方面的问题。
一个常见的例子如下：
有 n 种硬币，每一种硬币的面值为 a i a_i ai ，数目为 c i c_i ci ，问用这些硬币可以组合出哪些数值的面值，并且各自有多少种组合方法。
这显然是一个背包问题，但是我们考虑用生成函数来解决。一般来说普通的母函数为这样的形式 a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n a0+a1x+a2x2+...+anxn ，系数表示方案数，指数表示方案的状态。对于上面那个问题，可以转化为这样一个多项式乘法：
∏ i = 1 n ∑ j = 0 c i x j a i = ( 1 + x a 1 + x 2 a 1 + ⋯ + x c 1 a 1 ) ( 1 + x a 2 + ⋯ + x c 2 a 2 ) ⋯ ( 1 + x a n + ⋯ + x c n a n ) \begin{aligned} &\prod\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=0}^{c_i}x^{ja_i} \\ =& (1+x^{a_1}+x^{2a_1}+\cdots+x^{c_1a_1})(1+x^{a_2}+\cdots+x^{c_2a_2})\cdots(1+x^{a_n}+\cdots+x^{c_na_n}) \end{aligned} =i=1∏nj=0∑cixjai(1+xa1+x2a1+⋯+xc1a1)(1+xa2+⋯+xc2a2)⋯(1+xan+⋯+xcnan)
把它展开之后，每个 x 的指数就表示了组成的面值，系数就表示了方案数。
- 一道例题 Ignatius and the Princess III ：给出正整数 N（ 1 ≤ n ≤ 120 1\le n \le 120 1≤n≤120），问有多少种本质不同的方案可以使得 a 1 + a 2 + ⋯ a m = N a_1+a_2+\cdots a_m=N a1+a2+⋯am=N，并且满足 m ≤ N , a i > 0 m\le N,a_i>0 m≤N,ai>0 。这里本质不同指的是
1 2 1和1 1 2算同一种方案。
完全背包肯定是可以做的，生成函数的话可以考虑计算一个这样的式子： ( 1 + x + x 2 + ⋯ ) ( 1 + x 2 + x 4 + ⋯ ) ⋯ ( 1 + x N ) (1+x+x^2+\cdots)(1+x^2+x^4+\cdots)\cdots(1+x^N) (1+x+x2+⋯)(1+x2+x4+⋯)⋯(1+xN) ，然后就可以了。
代码：
#define DIN freopen("input.txt","r",stdin);
#define DOUT freopen("output.txt","w",stdout);
#include - 再比如说一道稍微复杂一些的题目 Easy ，题意如下：给定三个正整数 N，M 和 K（ 1 ≤ K ≤ N , M ≤ 1 0 6 1\le K\le N,M \le 10^6 1≤K≤N,M≤106），如果找到两个正整数序列 A 和 B，满足 ∑ i = 1 K A i = N \sum\limits_{i=1}^KA_i=N i=1∑KAi=N 以及 ∑ i = 1 K B i = M \sum\limits_{i=1}^KB_i=M i=1∑KBi=M ，那么就可以获得收益 ∏ i = 1 K m i n ( A i , B i ) \prod\limits_{i=1}^K min(A_i,B_i) i=1∏Kmin(Ai,Bi) ，问可以获得的总收益是多少？
先不考虑 m i n ( A i , B i ) min(A_i,B_i) min(Ai,Bi) 的收益，只考虑前面的条件限制，我们很容易列出生成函数 ( x + x 2 + ⋯ ) K ( y + y 2 + ⋯ ) K = ( x y ( 1 − x ) ( 1 − y ) ) K (x+x^2+\cdots)^K(y+y^2+\cdots)^K=(\frac{xy}{(1-x)(1-y)})^K (x+x2+⋯)K(y+y2+⋯)K=((1−x)(1−y)xy)K ，然后其中 x N y M x^Ny^M xNyM 的系数就是方案数，现在我们需要考虑的是对于每个 x i y j x^iy^j xiyj，给它赋予一个系数 m i n ( i , j ) min(i,j) min(i,j) 。因为每个 x i y j x^iy^j xiyj 实际上只是一个方案，如果我们可以把它变成 m i n ( i , j ) min(i,j) min(i,j) 个方案那就行了。所以把原生成函数转换为 ( x + x 2 + ⋯ ) K ( y + y 2 + ⋯ ) K ( 1 + x y + ( x y ) 2 + ⋯ ) K = ( x y ( 1 − x ) ( 1 − y ) ( 1 − x y ) ) K (x+x^2+\cdots)^K(y+y^2+\cdots)^K(1+xy+(xy)^2+\cdots)^K=(\frac{xy}{(1-x)(1-y)(1-xy)})^K (x+x2+⋯)K(y+y2+⋯)K(1+xy+(xy)2+⋯)K=((1−x)(1−y)(1−xy)xy)K ，这样每个 x i y j x^iy^j xiyj 实际上也可以由 x i − 1 y j − 1 , ⋯ , x 1 y j − i + 1 x^{i-1}y^{j-1},\cdots,x^{1}y^{j-i+1} xi−1yj−1,⋯,x1yj−i+1 搭配 x y xy xy 的某个幂组合出来，所以原来的一个方案就变成了要求的系数。
在 ( x y ( 1 − x ) ( 1 − y ) ( 1 − x y ) ) K (\frac{xy}{(1-x)(1-y)(1-xy)})^K ((1−x)(1−y)(1−xy)xy)K 这个生成函数下，我们只需要计算出 x N y M x^Ny^M xNyM 的系数，这就是我们需要的答案。分子已经有了 x K y K x^Ky^K xKyK ，所以我们需要计算出 ( 1 ( 1 − x ) ( 1 − y ) ( 1 − x y ) ) K (\frac{1}{(1-x)(1-y)(1-xy)})^K ((1−x)(1−y)(1−xy)1)K 中 x N − K y M − K x^{N-K}y^{M-K} xN−KyM−K 的系数，不难看出该式子是三个级数的乘积，对于 1 ( 1 − x ) n \frac{1}{(1-x)^n} (1−x)n1 中某一项的系数的求法，有如下公式：
根据广义二项式定理，有如下公式：
( 1 + x ) − n = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k C n + k − 1 k x k (1+x)^{-n}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kC_{n+k-1}^kx^k (1+x)−n=k=0∑∞(−1)kCn+k−1kxk
( 1 − x ) − n = ∑ k = 0 ∞ C n + k − 1 k x k (1-x)^{-n}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}C_{n+k-1}^kx^k (1−x)−n=k=0∑∞Cn+k−1kxk
所以，原问题的答案就是 a n s = ∑ i = 0 N − K C K + i − 1 i C K + N − K − i − 1 N − K − i C K + M − K − i − 1 M − K − i ans=\sum\limits_{i=0}^{N-K}C_{K+i-1}^i C_{K+N-K-i-1}^{N-K-i}C_{K+M-K-i-1}^{M-K-i} ans=i=0∑N−KCK+i−1iCK+N−K−i−1N−K−iCK+M−K−i−1M−K−i 。
代码：
#define DIN freopen("input.txt","r",stdin);
#define DOUT freopen("output.txt","w",stdout);
#include