任意三维直角坐标系变换矩阵的推导

(v1, v2, v3)坐标系 ==> (u1, u2, u3)坐标系

u ₁ =a ₁v ₁ + a ₂v ₂ + a ₃v ₃
u ₂ =a ₄v ₁ + a ₅v ₂ + a ₆v ₃
u ₃ =a ₇v ₁ + a ₈v ₂ + a ₉v ₃

[ u ] = M [ v ]     ------------------------------ 1

现已知一向量w,可分别表达为
w = c ₁v ₁ + c ₂v ₂ + c ₃v3    --------------------- 2
w = d ₁u ₁ + d ₂u ₂ + d ₃u3  -------------------- 3
由1, 2，3两式得

w = c [ v ] = d [ u ] = d M [v]
==>   c = d M  --------------------------- 4
公式推导完毕

假设任意坐标系三个坐标轴的分量是 (u, v, w),现要转换成标准的( i , j, k )坐标系
假设u, v, w, i, j, k都是单位向量
将,u, v, w三个向量分别带入 2, 3式可得到9个非常简单的方程组
求解后M的9个元素可得

        |  u _x   u _y  u _{z   |}
M =  |  v _x   v _y   v _{z   |}
        |  w _x  w _y  w _{z |}

至此，(v1, v2, v3)坐标系 ==> (u1, u2, u3)坐标系的转换系数已求出，如果需要坐标平移系的话，需要采用4 x 4的矩阵