形象理解线性代数（一）——什么是线性变换？

在之前学习线性代数的时候，我们总是说矩阵乘以向量就是对其进行了线性变换，而且我们可以很容易的计算出结果，但是我们并不知道其在形象的几何角度有什么意义。于是我们可以这样来理解：

首先，向量可以有三种表示形式，带有箭头的有向线段，符号以及，下面我们将在这三种表示中来回转换，并且以二维空间为例，来说明其中之奥秘。

一、向量在空间中的表示

任何一个空间都可以由一组基构成，言外之意，这个空间上的任何一个点（向量）都可以由这组基以线性组合的形式得到。比如，X-Y平面，其实就是一组基张成的空间，而我们所说的向量其实就是线性组合。

二、矩阵乘以向量与线性变换的意义

矩阵乘的意义，其实就是将一个向量，经过某个函数（矩阵）之后，输出成为另外一个向量。或者说，变换就是意味着，将原来的向量运动（变换）到另一个地方。而线性变换，也就是在变换的基础上，再加一个条件，线性的，也就是原来的一条直线，在变换了之后还应该是直线。

下面我们来理解什么是线性变换。为了避免混淆，我们不用XY的xy基底，而是选用一组新的基底来描述原空间的基。

假设我们有原向量, 而我们想要把向量经过矩阵A变换成另外一个向量。假设我们的变换矩阵（逆时针旋转90度），我们来看，按照之前计算的结果是，先记录下这个结果。

我们再来看另外一种解释：矩阵A对向量的变换，其实是施加在其基底上的变换，而新的向量关于新的基底的线性组合,与原来的向量关于原来的基底的线性组合，是一样的。看解释：

左图中，，线性变换的系数为（1,1）。经过线性变换A之后变成新的基底。而新的向量,其关于基底的系数也是（1,1）。并且最后的计算结果是不是和上面我们之前计算的一样？

所以我们说，一个向量，在经过一个矩阵A的变换之后，改变的是组成向量的基，而这个向量关于基的线性组合方式是没有变化的。

换句话说，对于一个线性变换，我们只需要跟踪其基在变换前后的变化，便可以掌握整个空间的变化。而矩阵A的列其实与变换后新的基底之间有着某些联系，也就是说，新的基底其实就是矩阵A的列向量的线性组合：，其中是A的列。说到这里，也就是说，其实矩阵A的列空间，在某种意义上就代表了变换后的新的空间。（关于矩阵的列空间、特征向量会在后面的博客中说明）。

三、非列满秩矩阵

如果说有一个变换（矩阵A），其列是相关的（如）,那么也就代表，经过这个矩阵变换后的新的空间的两个基底是在一条直线上，那么新的空间就不是一个平面，而是一条直线了。说到这里，对矩阵的秩和其空间的维度之间是不是也联系起来了，以及线性相关线性无关。

四、矩阵相乘

通过上面的解释，我们已经知道，原来矩阵其实就对应着某种变换，是矩阵对于向量的变换，而涵盖所有向量的几何就叫空间，所以一个矩阵就对应着一个空间变换的概念。但这是矩阵乘以向量代表的是对向量的变换，那么矩阵相乘呢？

矩阵相乘其实就意味着对向量（空间）进行两次变换的叠加效果。并且先变换A后变换B和先变换B后变换A是不一样的，因此AB和BA不相等。