形象理解线性代数(三)——列空间、零空间(核)、值域、特征值(特征向量)、矩阵与空间变换、矩阵的秩

这里,我们还是要以 形象理解线性代数(一)——什么是线性变换?为基础。矩阵对向量的作用,可以理解为线性变换,同时也可以理解为空间的变换,即(m*n)的矩阵会把一个向量从m维空间变换到n维空间。

一、矩阵的列空间与矩阵的秩以及值域的关系

矩阵的列空间,其实就是矩阵的列所组成的空间。比如我们考虑一个(3*2)的矩阵\small A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} &a_{22} \\a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} =[\begin{matrix} A^1&A^2 \end{matrix}],他的列空间就是\small A^1向量和\small A^2向量所能组成的空间。在这里,我们有两个向量,所以矩阵的列秩为2(在两向量线性不想关的情况下,表现在图中即两个向量不共线)。如果共线,那么向量\small A^2可以写成\small A^1的线性表示,这个时候,这两个向量所张成的空间只能是一条直线,所以秩变成了1。

一个矩阵\small A_{m*n}中的m和n不能等价于矩阵的秩。矩阵的秩,其实就是矩阵的列空间所张成的空间的维度。矩阵的秩的意义是列向量所能张成的空间的形状的一种描述,虽然在三维空间中,列向量张成的空间中的任一个向量要用三维坐标来表示,但是并不意味着这个空间是一个三维的体,而是一个面,只不过这个面是带有角度的。

从线性变换的角度理解的值域,其实就是从空间角度理解的矩阵的列空间。

二、矩阵与空间变换

同样我们考虑上面的矩阵\small A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} &a_{22} \\a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} =[\begin{matrix} A^1&A^2 \end{matrix}],言外之意就是把二维空间转化为三维空间。在原二维空间中的一个向量\small \overrightarrow{x}=[\begin{matrix} x_1\\x_2 \end{matrix}],经过矩阵A变换后,可以写成:\small \overrightarrow{v}=A\overrightarrow{x}=x_1A^1+x_2A^2,即\small A^1向量和\small A^2向量的线性组合。两个向量(不共线)只能组成平面,而不能形成一个立方体。也就是说,输入\small \overrightarrow{x}的定义域是一个二维平面,而输出(值域)同样也会是一个平面,只不过这个平面是在三维空间中的一个带有角度的平面。而这个空间变换的值域,其实就是上面所说的,矩阵的列空间所张成的平面。

三、零空间

零空间是\small A\overrightarrow{x}=0\small \overrightarrow{x}所张成的空间。如果说除去\small \overrightarrow{x}=0零空间还存在,那么就一定意味着空间是被压缩了的,因为只有压缩之后才能把一条直线压缩到零点上。言外之意,矩阵A的列秩不满,矩阵A的列向量具有线性相关性。

四、矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量,是对方阵而言,非方阵没有这个概念。言外之意,就是将n维空间变换到n维空间。

我们来看特征值和特征向量的定义,\small A\overrightarrow{x}=\lambda x。我们来结合矩阵与空间变换的理解,矩阵对向量的作用,就是相当于把原来的空间变换到新的空间;如果我们用矩阵是线性变换的理解(形象理解线性代数(一)——什么是线性变换?),那么说就是对原来的基底的变换。

从空间的角度来理解,对于向量\small \overrightarrow{x}乘以系数\small \lambda其实就是对向量的缩放(长度或正负方向发生改变,但还是在同一直线上),而矩阵(方阵)\small A的作用是空间的转变。如果一个矩阵对一个向量的作用只是对其进行了缩放,而没有角度的改变,那么这个向量就叫做特征向量,而缩放的比例就叫做特征值。

对于\small B\overrightarrow{x}=(A-\lambda I)\overrightarrow{x}=0,其实就是相当于B矩阵对向量\small \overrightarrow{x}的作用,使得某个向量压缩到零点,也就意味着矩阵B非满秩,也就意味着B的行列式为0。所以我们可以用\small det(B)=det(A-\lambda I)=0来求解\small \lambda

 

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