三维旋转——四元数

四元数是一种高阶复数，刻画刚体绕任意轴的旋转，四元数q表示为：

                                                                   

其中，i，j，k满足：

                                                                    

由于i，j，k的性质和笛卡尔坐标系三个轴叉乘的性质很像，所以可以将四元数写成一个向量和一个实数组合的形式：

可以推导出四元数的一些运算性质，包括：

                                              

* 四元数乘法

                                                      

                                                          

* 共轭四元数

                                                                 

* 四元数的模

                                                                       

 

四元数的直观意义：
四元数(x,y,z,w)(x,y,z,w)表示绕轴(x0,y0,z0)(x0,y0,z0)旋转角度，他们之间的关系是：

w=cos⁡(α/2), x=x0⋅sin(α/2)，y=y0⋅sin(α/2)，z=z0⋅sin(α/2)
在使用的时候往往将四元数归一化，即要求四元数的模为1：
                                                           x2+y2+z2+w2=1
       

四元数可用来刻画三维空间中的旋转，假设一个空间三维点 p = [x; y; z] ，以及一个由轴角 n; θ 指定的旋转。三维点 p 经过旋转之后变成为 p′。如果使用矩阵描述，那么有 p′ = Rp。用四元数描述旋转    
                                                                                 

                                                                                         

四元数到旋转矩阵的转换

                                                                               
                                                

由旋转矩阵到四元数的转换