2020牛客暑期多校训练营（第七场）H.Dividing

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题目描述

The following rules define a kind of integer tuple - the Legend Tuple:

• (1, k) is always a Legend Tuple, where k is an integer.
• if (n, k) is a Legend Tuple, (n + k, k) is also a Legend Tuple.
• if (n, k) is a Legend Tuple, (nk, k) is also a Legend Tuple.

We want to know the number of the Legend Tuples (n, k) where $1\le n\le N,1\le k\le K$.

In order to avoid calculations of huge integers, report the answer modulo $10^9+7$ instead.

输入描述:

The input contains two integers N and K, $1\le N,K\le 10^{12}$.

输出描述:

Output the answer modulo $10^9+7$.

示例1

输入

3 3

输出

8

示例2

输入

3 9

输出

14

这题题意简单明确，但实际上有点坑，先打个表(行为 $n$，列为 $k$)

1,1	1,2	1,3	1,4	$\cdots$
2,1	2,2	2,3	2,4	$\cdots$
3,1	3,2	3,3	3,4	$\cdots$
4,1	4,2	4,3	4,4	$\cdots$
5,1	5,2	5,3	5,4	$\cdots$

我标红的是不能选的，首先假如所有组合都满足条件，答案肯定就是 $n\ast k$，但实际上肯定少一点，那我们就考虑每一列的值：
我们从第二列开始考虑，因为第一列情况比较特殊~

• 第二列：横坐标为 $2\ast x$ 或者 $2\ast x-1$ 时，满足条件，$x\in N$
• 第三列：横坐标为 $3\ast x$ 或者 $3\ast x-2$ 时，满足条件，$x\in N$
• 第四列：横坐标为 $4\ast x$ 或者 $4\ast x-3$ 时，满足条件，$x\in N$
  $\cdots$
• 第 $k$ 列：横坐标为 $k\ast x$ 或者 $k\ast x-(k-1)$ 时，满足条件，$x\in N$

那么每一列满足条件的都可以算出来，对第 $i$ 列答案为 $\lfloor \frac{(n+i-1)}{i}\rfloor +\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$，注意千万别合并，因为是向下取整，比赛时因为这个纠结了很久/(ㄒoㄒ)/~~，那么答案就是 ${\sum }_{i=1}^n(\lfloor \frac{(n+i-1)}{i}\rfloor +\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$，因为数据 $n$ 比较大，直接算肯定是 $T$ 飞的，所以我们得用数论的知识——刷过 $kuangbin$ 基础数论的对这个 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 肯定很敏感，没错，题目名称也给了一点提升，就是除法分块，我们将答案拆分一下 ${\sum }_{i=1}^n(\lfloor \frac{(n+i-1)}{i}\rfloor +\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )={\sum }_{i=1}^n(\lfloor \frac{(n-1)}{i}\rfloor +\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )+k$，用除法分块就可以在 $O(\sqrt{n})$ 的时间里算出前面那个答案，那么这题到这里就解决了吗？别忘了，还有第一列，我们用上面推导的公式算第一列的时候，会发现多算了一个 $n$，所以最后答案还要减去一个 $n$。整体思路就是这样，AC代码如下：

#include
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
inline ll solve(ll n,ll k)//除法分块
{
    ll ans=0,j;
	for (register ll i=1;i<=k;i=j+1){
        j=n/(n/i);
        ans+=(min(j,k)-i+1)*(n/i);
    }
    return ans;
}

int main()
{
	ll n,k;
    scanf("%lld%lld", &n,&k);
    ll ans=(solve(n,min(n,k))%mod+solve(n-1,min(n-1,k))%mod+k%mod)%mod-n;
    if(ans<0) ans=mod-abs(ans)%mod;//负数取模
    printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}