北航面试之离散数学

一.掌握运算和代数系统的概念.

1.运算定义：设X是个集合，f:Xn®Y是个映射，则称f是

   X上的n元运.(Xn =X×X×...×X --n个X的笛卡尔积)

2代数系统定义：X是非空集合，X上的m个运算

  f1,f2,…fm, 构成代数系统U,记作U= ( m≥1)

二.熟练掌握二元运算的性质的判断及证明：

和是代数系统, «,o 是二元运算：

1.封闭性："x,y∈X, 有 x«y∈X。

2.可交换性："x,y∈X, 有 x«y=y« x。

3.幂等性： "x∈X,  有 x«x=x。

4. 有幺元： e∈X, "x∈X，有 e«x=x«e=x.

5.有零元: θ∈x,"x∈X，有θ«x=x«θ=θ.

6.可结合性："x,y,z∈X, 有 (x«y)«z =x«(y«z)。.

幻灯片9

7.有逆元： x∈X, 有x-1∈X，使得 x-1«x=x«x-1=e

8.可消去性： a∈X，"x, y∈X,有

     (a«x=a«y)∨(x«a=y«a) Þ x=y.   

9.分配律： «对o可分配："x,y,z∈X，有

     x«(yoz)=(x«y)o(x«z)    或 (xoy)«z =(x«z)o(y«z)

10.吸收律："x,y∈X，有 x«(xoy)=x  和   xo(x«y)=x

对这些性质要求会判断、会证明。

三.掌握代数系统同构定义,会证明.了解同构性质的保持

1.定义设,是两个代数系统，«和 o 都是二元

运算，如果存在映射f:X®Y,使得对任何x1 ,x2∈X，有

      f(x1«x2)=f(x1)of(x2) --------此式叫同态(同构)关系式

则称 f是从到的同态映射，简称这两个代数

系统同态。记作X∽Y。

并称为的同态像。

幻灯片10

如果f是满射的，称此同态f是满同态。

如果f是入射的，称此同态f是单一同态。

如果f是双射的，称与同构，记作X≌Y。

f是到 的同态(同构),称之为自同态(自同构)。

2.代数系统同构性质的保持

代数系统, , X≌Y, f:X®Y是同构映射, 如果

中«满足交换、结合、有幺元、有零元、每个元

素可逆, 则中Å也满足上述性质。反之亦然.

3.同态核

定义：f是从到 的同态映射, (X∽Y),e«和 eÅ 分别是X、Y中幺元。定义集合ker (f)为：

       ker (f)={x|x∈X∧f(x)= eÅ }称ker (f)为 f的同态核。

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四.掌握半群,独异点,群,环和域的概念.

 

 

环: ·>

是交换群

·>是半群

·对+可分配

 

整环·>

是交换群

·>是可交换独异点

无零因子(ab=0则a=0或b=0)

·对+可分配

 

域·>             是交换群

·>是交换群    

 ·对+可分配

幻灯片12

五.熟练掌握群的阶和元素的阶的概念及群的性质.

 1.群的阶:是群 ,如果K[G]=n (n是正整数), 则G是n

阶群.否则G是无限阶群.

 2.元素的阶:设是个群，a∈G，如果存在正整数k，

使得ak=e,则称a的阶是有限的。如果存在最小的正整数n，

使得an=e,则称a的阶是n。否则就称a的阶是无限的。

定理6-5.7：是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则

  ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍)

定理6-5.8. 群中的元素与其逆元 具有相同的阶。

定理6-5.9  有限群中，每个元素的阶都是有限的。

   

幻灯片13

   3.群的性质

    1).群满足可消去性

定理6-5.1设是个群，则对任何a,b,c∈G, 如果有

     ⑴   a«b=a«c   则  b=c 。  

     ⑵   b«a= c«a    则 b=c 。

   2). 群方程可解性

定理6-5.2 设是个群，则对任何a,b∈G,

     ⑴   存在唯一元素 x∈G, 使得 a«x=b ……..⑴

     ⑵   存在唯一元素 y∈G, 使得 y«a=b ……..⑵

   3). 群中无零元。

定理6-5.3 设是个群,如果K[G] ≥2,则G中无零元.

   4). 群中除幺元外，无其它幂等元。

   5).定理6-5.5 是个群，对任何a,b∈G,有

       ⑴  (a-1)-1 =a                ⑵  (a«b)-1=b-1«a-1

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   6). 有限群的运算表的特征

定理6-5.6 是个有限群，则G中每个元素在«运算

表中的每一行(列)必出现且仅出现一次。

 

练习题:给定群,*的运算表如

右图所示.求解下面群的方程:

   b*d-1*x*c=d*c-1

解: b*d-1*x*c=d*c-1 ∵ d-1=b  c-1=c

    ∴  b*b*x*c=d*c ∵ b*b=c ∴ c*x*c=d*c

    消去c得  c*x=d  

    解得:  x=c-1*d=c*d=b

 

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l 六.掌握交换群(会证明)

l 练习题1.给定集合Ｇ＝{x|x是有理数且x≠1}，在Ｇ上定义二元运算*如下：任何a，b∈Ｇ   a*b=a+b-ab

l 求证<Ｇ，*>是个交换群。

l 证明:1.证封闭性.任取a,bÎG,∴a≠1,b≠1,

l a*b=a+b-ab 若a+b-ab=1,则b=    =1, 产生矛盾.

l 所以 a+b-ab≠1  ∴ a*bÎG

l 2.证可结合性,任取a,b,cÎG,∴a≠1,b≠1,c≠1,

l a*(b*c)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)

l =a+b+c-bc-ab-ac+abc=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=(a*b)*c

l 3.证有幺元0,任取aÎG,

l   a*0=a+0-a0=a  0*a=0+a-0a=a  所以0是幺元.

 

 

 

幻灯片16

l 4.证可逆性.任取aÎG,a≠1,设有b,使得

l   a*b=a+b-ab=0 ∴ a+(1-a)b=0, b=   ≠1 ∴bÎG  

l a*b=0 且b*a=   *a=    +a-    a=           =0

 

l 所以a有逆元b.即a-1=

 

l 5.证交换性.任取a,bÎG,

l   a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a

 

l   综上所述是个交换群.

 

 

 

 

 

幻灯片17

l 七. 了解循环群.

l    1.循环群的定义:设是群,如果存在一个元素g∈G, 使得对每个 x∈G, 都存在整数i, 有x=gi, 则称是个循环群. 并称g是G的生成元.

l    2.循环群的循环周期:

l         周期有限:为k;

l         周期无限:

l    3.两种循环群:

l       : 周期为k;

l           : 周期无限.

 

 

 

幻灯片18

八.会证明子群,会应用Lagrange定理及其推论.

 1.子群的证明方法:

方法1.用子群的定义，即证明运算在子集上满足封闭、

有幺元、可逆。

方法2. 设是群, S是G的非空子集，如果

满足：封闭性和可逆性,则是的子群。

方法3.设是群, B是G的有限子集,如果«在B上满足

封闭性，则是的子群。

方法4. 设是群, S是G的非空子集，如果任何a,b∈S   有a«b-1∈S, 则是的子群。

 

 

幻灯片19

练习题2:设f和g都是群到的同态，证明

是的一个子群，其中

     C={x| x∈G1且f(x)=g(x)}

证明：方法1，用子群定义证明 满足：

a)封闭性.任取x1, x2∈C,(推出x1«x2∈Cf(x1«x2)=g(x1«x2))

∴ f(x1)=g(x1)   f(x2)=g(x2)

  f(x1«x2) =f(x1) o f(x2) =g(x1) o g(x2)=g(x1«x2) ∴x1«x2∈C

b)证幺元e1∈C, (推出f(e1)= g(e1))

  设e1和e2分别是G1和G2中的幺元,

  因 f(e1)= e2= g(e1) ∴ e1∈C。

c)可逆性：任取x∈C, (推出x-1∈C 即 f(x-1)= g(x-1))

  f(x)=g(x)   x-1∈G1, f  (x-1)= (f(x))-1= (g(x))-1 =g(x-1)

∴ x-1∈C。 综上所述， 是的一个子群。

幻灯片20

l 方法4,任取x1, x2∈C,

l    (推出x1«x2-1 ∈C  即  f(x1«x2 -1)=g(x1«x2 -1))

l   ∴ f(x1)=g(x1)   f(x2)=g(x2)   x2-1∈G1

l    f(x1«x2-1 ) =f(x1)o f(x2-1) =f(x1)o(f(x2))-1 = g(x1)o (g(x2))-1

l    = g(x1) o g(x2-1) = g(x1«x2-1)   

l    ∴ x1«x2-1∈C

l   所以是的一个子群。

 

 

幻灯片21

综合练习题:设是群，定义G上关系R如下；

   R= {| $z∈G,使得 y=z«x«z-1 }

1.证明R是G上等价关系。

2.令上述为时, 求商集N6/R.

证明1.a) 证R自反：任取x∈G, 幺元e∈G,  因为 x=e«x«e-1     由R定义得∈R，所以R自反。

b)证R对称：任取x,y∈G, 设有∈R,

由R定义得$z∈G,使得 y=z«x«z-1 , 于是有：

   z-1«y«z= z-1«(z«x«z-1)«z ,

    z-1«y«z= (z-1«z)«x«(z-1«z) , 所以  z-1«y«(z-1) -1 =x

因z-1∈G，所以有 ∈R, 所以R对称。

c)证明R传递：任取x,y,z∈G, 设有∈R, ∈R

由R定义得$z1,z2∈G,使得 y=z1«x«z1-1 , z=z2«y«z2-1 ,

于是有z=z2«y«z2-1 = z2«(z1«x«z1-1)«z2-1

= (z2«z1)«x«(z1-1«z2-1)=(z2«z1)«x«(z2«z1)-1  因

z2«z1∈R ,∴∈R, ∴R传递。∴R是G上等价关系。

幻灯片22

*2.令上述为时, 求商集N6/R.

    N6={0,1,2,3,4,5}

    R= {| $z∈N6,使得 y=z«x«z-1 },

    ∈RÛ $z(y=z«x«z-1)Û$z(y«z=z«x)

按照上述表达式得关系R图如下:

 

 

 

 

 

 

因此商集 N6/R={{0},{1},{2},{3},{4},{5}}

 

幻灯片23

l   第七章 格与布尔代数

 

l 1.掌握格的定义,了解格的性质.

l 2.会判断格,分配格,有补格和布尔格,

l 3.重点掌握两个元素的布尔代数的性质(10个).

l 4.会写两个元素的布尔表达式的范式.(实质是第一章的主

l    析取和主合取范式).

 

 

幻灯片24

一.掌握格的定义

1. 格的定义

   是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大

下界和最小上界，则称是格。

2. 由格诱导的代数系统

设是格,在A上定义二元运算∨和∧为:"a,b∈A

 a∨b=LUB {a,b} {a,b}的最小上界.Least Upper Bound

 a∧b=GLB {a,b} {a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound

称是由格诱导的代数系统. (∨-并,∧-交)

二.格的性质

   是由格诱导的代数系统。"a,b,c,d∈A

1.   a≤a∨b    b≤a∨b    a∧b≤a    a∧b≤b

2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。

幻灯片25

推论：在一个格中，任何 a,b,c∈A，如果b≤c，则

      a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。 此性质称为格的保序性。

3.  ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a，a∧b=b∧a。

4. ∨和∧都满足幂等律。即  a∨a=a    a∧a=a

5. ∨和∧都满足结合律。即

       (a∨b)∨c =a∨(b∨c) ， (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。

6. ∨和∧都满足吸收律。即a∨( a∧b) =a, a∧(a∨b) =a。

7. 是代数系统，如果∨和∧是满足吸收律的二

元运算，则∨和∧必满足幂等律。

8. ∨和∧不满足分配律。但有分配不等式：

     a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c) ，

     (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。

9.   a≤bÛ a∨b=b Û a∧b=a

幻灯片26

三.格的同态,同构

1.设 和是两个格，由它们诱导的代数系

统分别是和 ，如果存在映射f:A1®A2  使得对任何a,b∈A1,

    f(a∨1b)=f(a)∨2f(b)

    f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)

则称f是到 的同态映射。

也称是 的同态像。

如果 f 是双射的，就称f是到 ，

的格同构，也称格 和同构。

   两个格同构:两个格的图同构.

2.格同态和同构的保序性

幻灯片27

四.分配格

1.定义是由格诱导的代数系统。如果

对"a,b,c∈A，有

     a∨(b∧c) =(a∨b)∧(a∨c) ，

     a∧(b∨c)= (a∧b)∨(a∧c)

则称是分配格。

2. 二个重要的五元素非分配格：

3.分配格的判定：

  一个格是分配格的充分且必要条件是在该格中没有任何

子格与上述两个五元素非分配格之一同构.

4. 分配格的性质

   1). 定理7-2.1. 在格中，如果∧对∨可分配，则∨对∧也

可分配.反之亦然。

   2). 定理7-2.2. 所有链均为分配格。

 

 

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3). 设是分配格，对任何a,b,c∈A, 如果有  a∧b=a∧c  及 a∨b=a∨c   则必有 b=c .

五.有界格

   有界格定义：如果一个格存在全上界1与全下界0，则

称此格为有界格.

六.有补格

1. 元素的补元：

   设是个有界格，a∈A, 如果存在 b∈A, 使得

    a∨b=1   a∧b=0 则称a与b互为补元。

2. 有补格的定义：一个有界格中，如果每个元素都有补

元，则称之为有补格。

3.在有界分配格中，如果元素有补元，则补元是唯一的。

七. 布尔格  如果一个格既是分配格又是有补格，则称

之为布尔格。布尔格中每个元素都有唯一补元。

幻灯片29

练习题.给定集合如下：

A1={1,2,4,8,16}       A2={1,2,3,5,6,10,15,30}

A3={1,2,3,5,30}       A4={1,2,3,5,10,15,30}

A5={1,2,3,4,9,36}  令≤是上述集合上的整除关系。

1.请分别画出各个偏序集的哈斯图(i=1,2,3,4,5)

 

 

幻灯片30

 

 

 

 

 

 

 

 

2.用“Y”表示“是”，用“N”表示“否”填下表。

        

分配格

有补格

布尔格

 

 

幻灯片31

八. 布尔代数

1.定义

    由布尔格诱导的代数系统称之

为布尔代数。其中 ¯ 是取补元运算。

    如果A是有限集合，则称它是有限布尔代数。

2.布尔代数性质

设布尔代数, 任意x,y,z∈B,  有

⑴交换律   x∨y=y∨x     x∧y=y∧x

⑵结合律   x∨(y∨z)=(x∨y)∨z   x∧(y∧z)=(x∧y)∧z

⑶幂等律   x∨x=x     x∧x=x

⑷吸收律   x∨(x∧y)=x    x∨(x∧y)=x

⑸分配律   x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)

                   x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)

 

 

幻灯片32

⑹同一律   x∨0=x     x∧1=x

⑺零律       x∨1=1     x∧0=0

⑻互补律   x∨    =1     x∧    =0

⑼对合律

⑽底－摩根定律

3.布尔代数的同构

1). 定义：令和 是两个布尔

代数，如果存在映射f:B1®B2 ,对任何a,b∈B1 , 有

    f(a∨1b)=f(a)∨2f(b)

    f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)

    f(    )=

则称f是到 的同态映射。

 

 

 

 

幻灯片33

2). 原子

   定义1: 设设 ∨, ∧,¯>布尔代数, 元素a∈B, a≠0, 对

任何元素x∈B, 有x∧a=a, 或 x∧a=0, 则称a是原子。

   定义2:≤>是布尔格,在≤>的哈斯图中称盖住全

下界0的元素为原子。

 

 

 

 

 

 

 

幻灯片34

3). 有关引理

⑴定理7-3.2 设a,b是布尔代数中的原子，如果

a≠b, 则a∧b=0, (如果a∧b≠0, 则 a=b)

⑵定理7-3.3 设a,b1,b2 …bn是 布尔代数中的原

子，则a≤b1∨b2∨…∨bn的充分且必要条件为 对于某个i

(1≤i≤n),  有a=bi.

⑶定理7-3.4 设b是有限布尔代数中的 非0元素，则必存在原子a，使得a≤b.

⑷定理7-3.5 有限布尔代数中，b∧    =0，当且仅当 b≤c。

⑸定理7-3.6 设是有限布尔代数，b非0元素，

a1,a2 …ak是B中满足aj≤b的所有原子(j=1,2,…k), 则

 b＝a1∨a2 ∨…∨ak且除原子次序不同外，上述表达式是唯一的。

幻灯片35

l ⑹定理7-3.7 在布尔代数中，对B中任何原子a

l 和任何非0元素b, a≤b和a≤   两式中有且仅有一个成立。

l ⑺定理7-3.8 (Stone定理)设是有限布尔代数，

l M是B中所有原子构成的集合，则

l 与同构。

l ⑻推论1. 任何有限布尔代数的元素个数为2n   (n=1,2,3,…)

l          因为|P(M)|= 2n

l 推论2. 两个有限布尔代数同构的充分且必要条件是元素

l 个数相同。

 

 

幻灯片36

4. 布尔表达式概念

1).定义：设是布尔代数，其上的布尔表达式

递归定义如下：

(1)B中任何元素是个布尔表达式。

(2)任何变元x是个布尔表达式.

(3)如果E1 ,E2是个布尔表达式, 则      ,(E1∧E2),(E1∨E2)也

是布尔表达式。

(4)有限次地应用规则1)--3),得到的符号串都是布尔表达式。

 

幻灯片37

2). 布尔表达式的范式

 1. 有两个元素的布尔代数的布尔表达式的范式:

   <{0,1},∨,∧,¯>是两个元素的布尔代数

   1). 析取范式

      (1).小项: 含有n个变元的小项形式为:

其中      

例如                                                                         都是小项.         

      (2).布尔表达式的析取范式:

含有变元 x1,x2,…,xn 的布尔表达式E(x1,x2,…xn),如果写成

如下形式:  A1∨A2∨...∨Am (m≥1)

其中每个Ai (1≤i≤m)都是有n个变元的小项. 则称此式是

E(x1,x2,…xn)的析取范式.

 

 

 

幻灯片38

l 2). 合取范式

l     (1). 大项:含有n个变元的大项形式为:

l 其中

l 例如                                                                         都是大项.      

l    (2).布尔表达式的合取范式:

l 含有变元 x1,x2,…,xn 的布尔表达式E(x1,x2,…xn),如果写成

l 如下形式:  A1∧A2∧... ∧Am (m≥1)

l 其中每个Ai (1≤i≤m)都是有n个变元的大项. 则称此式是

l E(x1,x2,…xn)的合取范式. 例如:

 

l 3). 析取范式与合取范式的写法:

l   方法1:列真值表

l   方法2:表达式的等价变换.

l 

 

 

 

 

 

幻灯片39

l 方法1. 用真值表求析取范式:

l      先介绍小项的性质, 以两个变元x1,x2为例

 

 

 

 

 

 

l      每一组赋值,有且仅有一个小项为1.

l 根据一组赋值,求值为1的小项: 如果变元x,被赋值为0,则

l 在此小项中, x以   形式出现; 如果变元x,被赋值为1,则在

l 此小项中, x以原形x形式出现.  

l 求E(x1,x2,…xn)的析取范式:先列出它的真值表,找出表中

l 每个1对应的小项,然后用∨连接上述小项.

l 

 

 

幻灯片40

例如,求布尔代数<{0,1},∨,∧,¯>上的布尔表达式

 E(x1,x2,x3)=x1∧(x2∨    ) 的析取范式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(x1,x2,x3)=(x1∧   ∧     )∨(x1∧ x2∧    )∨(x1∧ x2∧x3)

 

幻灯片41

方法1. 用真值表求合取范式:

     先介绍大项的性质, 以两个变元x1,x2为例

 

 

 

 

 

 

     每一组赋值,有且仅有一个大项为0.

根据一组赋值,求值为0的大项: 如果变元x,被赋值为1,则

在此小项中, x以   形式出现; 如果变元x,被赋值为0,则在

此小项中, x以原形x形式出现.  

求E(x1,x2,…xn)的合取范式:先列出它的真值表,找出表中

每个0对应的大项,然后用∧连接上述大项.

 

幻灯片42

l 例如,求布尔代数<{0,1},∨,∧,¯>上的布尔表达式

l  E(x1,x2,x3)

l =x1∧(x2∨    )

l 的合取范式.

 

 

 

 

 

 

 

l E(x1,x2,x3)=(x1∨x2∨x3)∧(x1∨x2∨    ) ∧ (x1∨   ∨x3)∧ (x1∨   ∨    ) ∧(   ∨ x2∨    )

 

 

 

 

 

幻灯片43

方法2. 用表达式的等价变换求析取范式:

E(x1,x2,x3)=x1∧(x2∨     ) =(x1∧x2)∨(x1∧     )

=(x1∧x2∧(x3∨    ))∨ (x1∧(x2∨    )∧     )

=(x1∧x2∧x3)∨(x1∧x2∧   )∨(x1∧x2∧     )∨(x1∧   ∧    )

=(x1∧x2∧x3)∨(x1∧x2∧    )∨(x1∧    ∧    )

结果与前相同.

用表达式的等价变换求合取范式:

E(x1,x2,x3)=x1∧(x2∨     )

=(x1∨(x2∧    )∨(x3∧    ))∧((x1∧   )∨x2∨    )

=(x1∨x2∨ x3 )∧(x1∨x2∨    )∧(x1∨   ∨x3 )∧(x1∨  ∨    )

  ∧(x1∨x2∨    )∧ (    ∨x2∨     )

=(x1∨x2∨ x3 )∧(x1∨x2∨    )∧(x1∨   ∨x3 )∧(x1∨  ∨    )

    ∧ (    ∨x2∨     )

 

 

 

 

幻灯片44

2. 一般的布尔代数的布尔表达式的范式:

   < B,∨,∧,¯>是布尔代数,含有变元 x1,x2,…,xn 的布尔表

达式E(x1,x2,…xn),

1). 小项: 是由n个变元和B中元素构成的如下形式,称为小

项.

其中                                                           

Cδ1δ2...δn为B中元素, 我们称之为小项的系数.      

例如B={0,1,a,b}, 下面就是E(x1,x2,x3)中的小项:

 

2). 布尔表达式E(x1,x2,...xn)的析取范式:

含有变元 x1,x2,…,xn 的布尔表达式E(x1,x2,…xn),如果写成

如下形式:  A1∨A2∨...∨Am (m≥1)

其中每个Ai (1≤i≤m)都是有n个变元的小项. 则称此式是

E(x1,x2,…xn)的析取范式.

 

 

 

幻灯片45

l E(x1,x2,…xn)写析取范式形式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l 

 

 

幻灯片46

l 类似地, E(x1,x2,…xn)的合取范式为:

l E(x1,x2,…xn)=(x1∨x2∨...∨ xn ∨E(0,0,…,0))∧

l         (x1∨x2∨...∨xn-1∨    ∨E(0,0,…0,1))∧... ∧

l         (   ∨   ∨...∨      ∨xn∨E(1,1,…,1,0))∧

l         (   ∨   ∨...∨    ∨E(1,1,…,1))

 

l 其中

l E(0,0…,0),E(0,0,…0,1),…,E(1,1,…1,0)和E(1,1,…,1)

l 就是所谓的“系数”.

l 实际上, 求E(x1,x2,…xn)的析取或者合取范式时, 就是求这

l 些“系数”.

l 

 

 

幻灯片47

l 已知是布尔代数, 其中B={0,a,b,1}

l 分别求出下面布尔表达式的析取范式和合取范式.

 

l 解. 先求四个系数:

 

 

 

 

l 析取范式为:

 

 

 

 

 

 

 

幻灯片48

l 合取范式为:

 

l 

 

 

幻灯片49

        第八章  图论

1.掌握图的基本概念.(特别注意相似的概念)

2.熟练掌握图中关于结点度数的定理. (会应用)

3.无向图的连通性的判定,连通分支及连通分支数的概念.

4.有向图的可达性,强连通,单侧连通和弱连通的判定. 求强分图,单侧分图和弱分图.

5.会求图的矩阵.

6.会判定欧拉图和汉密尔顿图.

7.会判定平面图, 掌握欧拉公式.

8.了解对偶图.

9.掌握树的基本定义,v和e间的关系式.会画生成树,会求最

小生成树.根树的概念,完全m叉树的公式,会画最优树,

会设计前缀码.

幻灯片50

一.图的概念

  图的定义, 有向边,无向边,平行边,环

  邻接点,邻接边, 孤立结点

  有向图, 无向图,简单图,混合图,零图,平凡图,多重图,

  完全图,子图, 生成子图,补图,

  结点的度, 结点的出度, 结点的入度,

  图的最大度Δ(G),最小度δ(G),

  图所有结点度数总和与边的关系, 出度和与入度和关系

  图的同构

幻灯片51

l 二.路与回路

l   路,回路,迹,闭迹,通路,圈

l   无向图的连通性:连通图,连通分支,连通分支数W(G),

l    点割集,割点,点连通度k(G),

l    边割集,割边(桥),边连通度λ(G)

l    结点间的距离, 图的直径

l    有向图的连通性:可达性,

l     强连通,单侧连通,弱连通, 强分图,单侧分图,弱分图.(会求这些分图)

 

 

l 

 

幻灯片52

三.图的矩阵

   邻接矩阵A:结点与结点之间的邻接关系矩阵.

       根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点出,入度.

       由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k的路条数.

  可达矩阵P:结点u到结点v的可达性的矩阵.

       用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图.

  关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵.

       用M判定:各结点的度

 

幻灯片53

四.欧拉图与汉密尔顿图(会判定)

   欧拉路,欧拉回路,欧拉图.

   判定:有欧拉路的充要条件:无或有两个奇数度的结点.

           有欧拉回路的充要条件:所有结点度数均为偶数.

  汉密尔顿路,汉密尔顿回路,汉密尔顿图

  汉密尔顿图的判定:

    必要条件:V的任何非空子集S,有W(G-S)≤|S|

    充分条件:每对结点的度数和≥|V| =n

五.平面图

   平面图的定义,平面的边界,

    欧拉公式: v-e+r=2

   判定:必要条件: e≤3v-6

          充要条件:G不含与K5或K3,3在2度结点内同构子图.

幻灯片54

l 六.对偶图与着色

l     会画对偶图, 会对图正常着色.

l 七. 掌握K3.3

l 八.树与生成树

l    树的定义:6个定义,其中最主要的是连通无回路, e=v-1

l    分支结点, 叶结点

l    会求最小生成树

l 九. 根树

l    m叉树,完全 m叉树, (m-1)i=t-1

l    会画最优树, 会设计前缀码

l 

 

幻灯片55

l 练习题

l 1.请画出K5 的所有不同构的生成树。

l 解. K5的生成树T边数为4, T的度数和为8

 

 

 

 

l 2.一棵完全二叉树有e条边，t个叶结点，请推导出e与t的关系式。

l 解.根据完全m叉树的公式:(m-1)i=t-1

l 得分支结点数 i=t-1 又根据树中 e=v-1 v是结点数.

l 所以 e=(i+t)-1=t-1+t-1=2t-2

l 

 

 

 

 

 

(11114)

(11123)

(11222)

幻灯片56

3.今有a,b,c,d,e,f,g七个人,已知下列事实:

  a:会讲英语.               b:会讲英语和汉语.

  c:会讲英语,意大利语和俄语 d:会讲日语和汉语.

  e:会讲德语和意大利语      f:会讲法语,日语,俄语

  g:会讲法语和德语.

试问能否将这七个人适当安排座位,使得每个人都能和他

两边的人直接交谈?若能,请给予安排.若不能,说明理由.

解. 以a,b,c,d,e,f,g为结点,如果两个

人之间讲同一种语言,则它们之间

连一条直线.得到右图.

 从此图中找到H回路: abdfgeca

按照此回路坐成一个圆圈,就可以

使得每个人都可以和它两边的人直接交谈.

 

幻灯片57

4. 下面序列哪些可以构成一个无向连通图的结点度数序列?哪些不能?哪些可以构成连通简单图?哪些可能构成欧拉图?哪些可能构成汉密尔顿图?哪些可能是完全图?哪些可能是树?如果能.请画出一个那样的图. 如果不能请说明原因.

       a.(1,2,3,3)       b.(3,3,3,3)    c.(1,1,1,1,2,4)

       d.(2,3,3,4,4)  e.(2,3,4,4,5)   f.(2,2,2,2,4)

解.a.(1,2,3,3) 不能构成无向连通图的结点度数序列,

因为此序列中有三个奇数,不附和握手定理.

b.(3,3,3,3) 可以是个完全图K4,是个H图.

c.(1,1,1,1,2,4) 可以是棵树.

d.(2,3,3,4,4) 构成无向连通图的

   结点度数序列,是个H图.

 

 

 

幻灯片58

l e.(2,3,4,4,5)可构成连通图的结点序列.但不是简单图,5个

l 结点中有一个结点度为5, 所以不是有环,就是有平行边.

 

 

 

l f.(2,2,2,2,4)是个欧拉图,