图论 —— 环与块 —— 最小环

【概述】

从一个点出发，经过一条简单路径回到起点，称为图的环，而图的最小环就是所有环中长度最小的。

所谓最小环问题，最小环就是指在一张图中找出一个环，使得这个环上的各条边的权值之和最小。

【求最小环】

Floyd 算法可以在求最短路的同时求出图的最小环。

记两点间的最短路为 dis[i][j]，w[i][j] 为边 < i,j > 的权值，res 为图的最小环

一个环中最大的节点为 k，与它相连的节点为 i、j，这个环的最短长度为 w[i][k]+w[k][j]+(i 到 j 的路径中所有节点编号都小于 k 的最短路径长度)

根据 Floyed 原理，在最外层进行 k-1 次循环之后 dis[i][j] 代表了 i 到 j 的路径中，所有结点编号都小于 k 的最短路径，因此该算法一定能找到图中的最小环。

关于 Floyd 算法：点击这里

int res=INF;
for(int k=1;k<=n;k++){//第一重循环为i→j的中间点k

    for(int i=1;i<=n;i++)//第二重循环为起点i
        for(int j=1;j<=n;j++)//第三重循环为终点j
            res=min(res,dis[i][j]+w[j][k]+w[k][i]);//环的最短长度
    
    for(int i=1;i<=n;i++)//第二重循环为起点i
        for(int j=1;j<=n;j++)//第三重循环为终点j
            dis[i][j]=min(dis[i][j],w[i][k]+w[k][j]);//最短路径
}