Java动态规划 实现最长公共子序列长度

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

公共子序列长度

public  int  findLCS(String A, String B) {
    int n = A.length();
    int m = B.length();
    char[] a = A.toCharArray();
    char[] b = B.toCharArray();
    int[][] db = new int[n][m];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (a[i] == b[0]) {
            db[i][0] = 1;
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                db[j][0] = 1;
            }
            break;
        }
    }
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (a[0] == b[i]) {
            db[0][i] = 1;
            for (int j = i + 1; j < m; j++) {
                db[0][j] = 1;
            }
            break;
        }
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            if (a[i] == b[j]) {
                db[i][j] = db[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                db[i][j] = Math.max(db[i - 1][j], db[i][j - 1]);
            }
        }
    }

    for(int i = 0;i;i++){
        for(int j = 0;j;j++){
            System.out.print(db[i][j]+" ");
        }
        System.out.println();
    }
    return db[n-1][m-1];
}

ublic void FromJava() {
    String str1 = new String("binghaven");
    String str2 = new String("jingseven");
    int n= findLCS (str1,str2);
    System.out.println("子序列长度" +String.valueOf(n));

10-18 18:18:41.143 3621-3621/com.vise.snowdemo I/System.out: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
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10-18 18:18:41.143 3621-3621/com.vise.snowdemo I/System.out: 0 1 2 3 3 3 4 4 4 
10-18 18:18:41.143 3621-3621/com.vise.snowdemo I/System.out: 0 1 2 3 3 4 4 5 5 
10-18 18:18:41.143 3621-3621/com.vise.snowdemo I/System.out: 0 1 2 3 3 4 4 5 6 
10-18 18:18:41.143 3621-3621/com.vise.snowdemo I/System.out: 子序列长度6