（ 图论专题 ）【 最小点覆盖、最少边覆盖和最大独立集 】

（ 图论专题 ）【 最小点覆盖、最少路径覆盖和最大独立集 】

(1)二分图的最大匹配

匈牙利算法

(2)二分图的最小点覆盖

定义：在二分图中，求最少的点集，使得每一条边至少都有端点在这个点集中。

二分图的最小点覆盖 = 二分图的最大匹配

(3)二分图的最少边覆盖

定义：在二分图中，求最少的边，使得他们覆盖所有的点，并且每一个点只被一条边覆盖。

二分图的最少边覆盖 = 点数-二分图的最大匹配

证明：

先贪心选一组最大匹配的边放进集合，对于剩下的没有匹配的点，随便选一条与之关联的边放进集合，那么得到的集合就是最小边覆盖。

所以有：最小边覆盖=最大匹配+点数-2*最大匹配=点数-最大匹配

(4)二分图的最大独立集

定义：在二分图中，选最多的点，使得任意两个点之间没有直接边连接。

二分图的最大独立集 = 点数 - 二分图的最大匹配

证明：

我们可以这样想，先把所有的点放进集合，然后删去最少的点和与之相关联的边，使得全部边都被删完，这就是最小点覆盖。所以有：最大独立集=点数-最小点覆盖

(5)有向无环图的最少不相交路径覆盖

我们把原图中的点V拆成两个点Vx和Vy，对于原图中的边A−>B，我们在新图中连Ax−>By。那么最少不相交路径覆盖=原图的点数-新图的最大匹配

证明：

一开始每个点都独立为一条路径，在二分图中连边就是将路径合并，每连一条边路径数就减一。因为路径不能相交，所以不能有公共点，这恰好就是匹配的定义。所以有：最少不相交路径覆盖=原图的点数-新图的最大匹配