高数--- 一元函数微分学的几何应用

一、极值与最值

    定义：

    1、（广义的极值）：若存在x0的某个领域，使得在该领域内任意一点x，均有

                          f(x)<=f(x0)(或f(x)>=f(x0))成立，

       则称x0位f(x)的广义的极大值点（极小值点），f(x0)为f(x)的广义的极大值（或极小值）。

    2、（真正的极值）：若存在x0的某个去心领域，使得在该领域内异于x0的点x，均有

                         f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))成立，

       则称x0位f(x)的广义的极大值点（极小值点），f(x0)为f(x)的广义的极大值（或极小值）。

    3、(广义的最值)：设x0为f(x)定义域内一点，若对于f(x)的定义域内任一点x，均有

                         f(x)<=f(x0)(或f(x)>=f(x0))成立，

       则称f(x0)为f(x)的广义的最大值（或最小值）。

    4、（真正的最值）:设x0为f(x)定义域内一点，若对于f(x)的定义域内任一异于x0的点x,均有

                          f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))成立，

       则称f(x0)为f(x)的真正的最大值（或最小值）。

 【注】如果f(x)在区间I上有最值点x0,并且此最值点x0不是区间I的端点而是I内部的点，那么此x0是f(x)的一个极值点。

二、单调性与极值的判别

    1、单调性判别：

    若用导数工具，则若y=f'(x)>0,则y=f(x)在I上严格单调增加；相应的，若y=f(x)区间I上有f'(x)<0,则y=f(x)在I上严格单调减少。

    2、一阶可导点是极值点的必要条件

      设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x)=0.

    3、判断极值的第一充分条件

      设f(x)在x=x0处连续，在x0某取心领域U(x0,δ)内可导。

    （1）若当x∈（x0-δ,x0）时f'(x)<0,当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)>0,则f(x)在x=x0处取得极小值；

    （2）若当x∈（x0-δ,x0）时f'(x)>0,当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)<0,则f(x)在x=x0处取得极大值；

    （3）若f'(x)在（x0-δ,x0）和(x0,x0+δ)内不变号，则点x0不是极值点；

    4、判断极值的第二充分条件

      设f(x)在x=x0处二阶可导，且f'(x0)=0,f''(x0)≠0

     （1）若f''(x0)<0,则f(x)在x0取得极大值；

     （2）若f''(x0)>0,则f(x)在x0取得极小值；