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二分查找

什么是二分查找？

二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列,其实就是，对于要查找的元素，每次通过与区间的中间元素对比，不断缩小区间，直至查找到要查找的元素，或者左边大于右边（区间为0），至于什么是左边还是右边，各位看客容我慢慢道来。

二分查找的优缺点

优点：二分查找是一个常用的高效的查找算法，其时间复杂度O(logn)
我们假设给出一组数据，其大小为n,由于每次查找都会使得区间减半，所以区间长度不断的除以2，直至或者说最坏情况区间为零
总共有n个元素，
渐渐跟下去就是n,n/2,n/4,…n/2^k（接下来操作元素的剩余个数），其中k就是循环的次数
最后操作的元素最后直至为一是可以推出：n/2^k=1，即k=log2n，所以时间复杂度为O(logn)
缺点：
1.必须采用顺序存储结构。（比如数组）
2.必须按关键字大小有序排列。（数据必须有序，如果不为有序的，对于取中间元素作为比较将没有意义）
主要思想：将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止；如果xa[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x(那么左边和右边其实就是左右边界)
说了这么多，还是上代码吧

代码实现

int find(int x)
{
	int mid;
	int l=1,r=n;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;//与除以二等效，只是在计算机里更快，这里算mid时需要技巧防止溢出，建议写成: mid = left + (right - left) >> 2 
		if(a[mid]==x)//取a[n/2]与x做比较,如果x=a[n/2],则找到x
		return mid;
		else if(a[mid]>x)//如果x>a[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x
		r=mid+1;
		else if(a[mid]<x)//如果x
		l=mid+1;
	}
	return l;
}

c++中的二分查找

binary_search 返回bool值，是否存在，如果存在返回1，反之则为0
上代码

#include
#include
#include//一定要用到这个头文件
#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define endl '\n' 
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=1e8+7; 
int a[maxn];
int main()
{
	int x;
	cin>>x;
	for(int i=1;i<=5;i++)
	cin>>a[i];
	cout<<binary_search(a+1,a+6,x)<<endl;//a表示首地址，即a[0]，a+1,a+6表示从a[1]到a[6]这个区间查找是否有x这以元素
	return 0;
}

lower_bound 返回可插入的最小位置的迭代器，即返回第一个符合条件的元素位置，一般符合的条件为第一个大于等于某个元素的位置

#include
#include
#include
#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define endl '\n' 
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=1e8+7; 
int a[maxn];
int main()
{
	int x;
	cin>>x;
	for(int i=0;i<5;i++)
	cin>>a[i];
	cout<<lower_bound(a,a+5,x)-a<<endl;//返回的是位置，一般我们找的是在数组中的第几个位置，所以通常是减去首地址，即a[0]/a;
	return 0;
}

upper_bound 返回可插入的最大位置的迭代器，即返回最后一个符合条件的元素的位置，，一般符合的条件为最后一个大于等于某个元素的位置，代码实现如上
附赠查找第一个大于等于x和最后一个大于等于x的位置的代码

int find_low(int x)
{
	int mid,l,r=n;
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(a[mid]<x)
		l=mid+1;
		else
		r=mid-1;
	}
	return l;
}
int find_up(int x)
{
	int mid,l=1,r=n;
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(a[mid]<=x)
		l=mid+1;
		else
		r=mid-1;
	}
	return l;
}

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