超前进位加法器的理解

目前在所有的cpu中，为了提高加法的计算速度。都采用了超前进位加法器。

普通的加法器我们很好理解，我这里从网上找了一张图。

可以想象最简单的加法计算就是每一位都进行一次全加器计算，然后产生一个进行c，下一个全加器在取得进位以后再进行他的位的计算，循环下去直到最后一位。这样的问题是进行一次32位的加法计算就需要至少串行的经过32个全加器，如果CPU的频率是3Ghz，那么一个时钟周期，大约333皮秒内，是无法完成一次简单的加法运算的。

那么超前进位加法器是如何做到高速计算的，可以想象肯定是把计算平行化了，而且是用数量来换了速度。但是具体是怎么做的呢。我们来一起分析下。

首先考虑所有的加法情况

Row	x	y	cin	cout	s
0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	1
2	0	1	0	0	1
3	0	1	1	1	0
4	1	0	0	0	1
5	1	0	1	1	0
6	1	1	0	1	0
7	1	1	1	1	1

我们用这公式来描述所有2进制加法的进位的计算公式

ci+1 = xiyi + xici + yici

这里c表示的是进位，举个列子来说就是第一位的进位c1他是由第零位的x0*y0+x0*c0+y0*c0， 这里很明显c0是始终为0的。那么c1=x0*y0

然后这个提取公因子公式就变成了

ci+1 = xiyi + ci(xi + yi)

然后是不是发现，这样一来只有ci是不确定的。其他的xi和yi都是直接输入。

但是ci其实呢通过循环inline的一个替换，其实会变成类似

ci+1 = xiyi + (xi + yi)（xi-1yi-1 + ci-1(xi-1 + yi-1)）

然后可以一直这样替换下去，直到c0这一层。或者是最右端的输入。

一般的通常会把这几个变量成为g，p变量

 gi = xiyi 
 pi = xi + yi

这样理论上可以实现任何位数都在有限次内完成，但是这样的代价是位数越多需要的电路也就越多。

这里附上一张wiki中的图来说明

这里第一步的时候，所有的4个全加器对每一位计算出自身的和Si， gi和pi

然后第二部，超前进位器计算出c1，c2，c3，c4，当然这里的c1，c2，c3，c4计算需要的逻辑门数量是逐步递增的。

然后c1，c2，c3对S1，S2，S3进行进位，C4会传递给更上面的位。

基本就是这样了。但是由于成本的问题一般都会把32位或者64位的切割成多个16位的超前进位来进行计算，能保证在一个时钟周期内完成基本就可以了。

取得一个成本和性能上得平衡。