数据结构笔记-二叉树及其实现 python

概述

二叉树是一种最简单的树形结构，其特点是树中每个结点至多关联到两个后继结点，也就是，一个节点可以关联到的结点可以为0,1,2，这也是二叉树一个节点度的定义，另一个特点是结点关联的后继结点明确的分左右，一般有一个根结点，然后根结点的左右后继结点分别称为根结点的左，右孩子，或者左，右关联结点。

 

1.二叉树

定义：

二叉树是结点的有穷集合。这个集合或者是空集，或者其中有一个称为根结点的特殊结点，其余结点分属两颗不相交的二叉树，这两颗二叉树分别是原二叉树的左，右子树。（显然，二叉树的定义是一种递归定义，所以接下来的二叉树也用递归实现）

2.完全二叉树

定义：

对于一颗高度为h的二叉树，如果0至h-1层的节点都满（第i层有2^i个结点），如果下一层结点不满，则所有结点在最左边连续排列，空位都在右边，这样的树称为完全二叉树。

 

3.性质

1）：在非空二叉树的第i层至少有 2^i 个1结点（i≥0） 

第0层有2^0=1个结点，第1层有2^1=2个结点，假设第n层有2^n个结点，每个结点最多有两个子节点，所以n+1层至多有2^n * 2 = 2^(n+1)个结点，运用归纳法证毕。

2）:高度为h的二叉树至多有2^(h+1)-1个结点（h大于等于0）

第0层最多2^0=1个，第二层最多2^1=2，以此类推，高度h的二叉树共2^0+2^1+……+2h,等比数列求和，带公式即可得出结论。

3）：对于一颗满二叉树，度为0的结点（叶节点）总比度为2的结点多一个

用n0，n1，n2分别表示度为0,1,2的结点数，n表示整个整个二叉树的结点数，则n = n0+n1+n2，又根据结点的性质（所有节点的读书之和+1=结点总数），可得n = n1 + 2*n2 +1 ，两个式子做减法，就能得到最后结论，n0=n2+1。

4）：一颗完全二叉树的高度h=|log2(n)|，即不大于log2(n)的最大整数

假设完全二叉树有n个结点1，高度为h，根据性质2），2^h-1

5）：n各结点的完全二叉树的结点按层次并按从左到右的顺序从0开始编号，对任一结点 i（0≤i≤n-1）:

△ 序号为0的结点是根

△ 对于i＞0，其父节点编号（i-1）/ 2

△ 若2 x i + 1 < n ，其左子节点序号为 2 x i + 1，否则无左子节点

△ 若2 x i + 2 < n ，其右子节点序号为 2 x i + 2，否则无右子节点

 

4.把有序数组转换为二叉树

将数组1,2,3,4,5,6,7,8,9,10转换为二叉树

思路：

将数组中心元素作为二叉树根结点，把数组分为两部分，对于数组的两部分采用相同的构造方法，递归的实现二叉树。

       

         

实现

#构建二叉树类
class BitNode:
	def __init__(self):
		self.data = None
		self.lchild = None
		self.rchild = None

#把有序数组转换为二叉树
def array2tree(arr,start,end):
	root = None
	if end >= start:
		root = BitNode();
		mid = int((start+end+1)/2) #取整
		#树的根节点为数组中间的元素
		root.data = arr[mid]
		#递归用左半部分构造root的左子树
		root.lchild = array2tree(arr,start,mid-1)
		#递归用左半部分构造root的右子树
		root.rchild = array2tree(arr,mid+1,end)
	else:
		root = None
	return root

 

5.从顶层逐行遍历二叉树

思路：

通过引入队列，在遍历每个结点的过程中记录结点的左右子结点信息，遍历直到树为空，先遍历根结点，然后将左右子结点加入队列，继续遍历队列中下一个元素，如果有结点，按左右结点顺序加入队列，遍历直到队列为空，没有新的元素增加。

from collections import deque
#用层序方法遍历二叉树
def printTreeLayer(root):
	if root == None:
		return
	queue = deque()
	#根节点进入队列
	queue.append(root)
	while len(queue) > 0:
		#访问当前节点
		p = queue.popleft()
		print(p.data,end = ' ')
		#如果左孩子不为空则加入队列
		if p.lchild != None:
			queue.append(p.lchild)
		#如果右孩子不为空则加入队列
		if p.rchild != None:
			queue.append(p.rchild)
	print()

结果:

if __name__ == "__main__":
	arr = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
	root = array2tree(arr,0,len(arr)-1)
	print('层序遍历结果为:')
	printTreeLayer(root)

层序遍历结果为:
6 3 9 2 5 8 10 1 4 7