ACM 数论 逆元的总结

逆元的应用

求解 （ a/b ）%m    时  一般想法是  转化为(a%(b*m))/b，转化过程如下

令k = (a/b)/m(向下取整), x = (a/b)%m;

a/b = k*m + x (x < m);

a = k*b*m + b*x;

a%(b*m) = b*x;

a%(b*m)/b = x;

得证: a/b%m = a%(b*m)/b;(公式适用于很多情况：m不必是素数，b和m也不必互质)

 

上面的公式适用于b较小，a需要在线求且较大的时候;

比如：求a/b的值，且另a = x^k, 求a的过程随时会爆精度所以需要对a进行取模，但是求的过程中如果是直接对a进行%mod，之后再进行a/b，会出现错误的。正确的做法是根据上述公式，在求a过程中对(b*m)取模，之后再除以一次b即可。[ a/b%m = (a%(b*m))/b%m ]

 

所有的除法取模问题都可以用这种方法，但是当b很大的时候，则会出现爆精度问题，所以引出乘法逆元，将除法取模转换为乘法取模。

b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质。

设令c为b的逆元，即b*c ≡ 1(mod m);

解释：满足同余方程，b*c和1对m的模数相同，即b*c对m取余为1(m > 1);

那么 a/b = (a/b)*1 = (a/b)* （ (b*c)(mod m) ） = a*c(mod m);

即，除以一个数对m取模等于乘以这个数的逆元对m取模;

 

三种求逆元的方法&：

1.逆元求解利用扩欧。
2.当m为质数的时候直接使用费马小定理，m非质数时使用欧拉函数。
3.当m为质数的时候，使用神奇的线性方法。

扩展&：

1.利用乘法逆元求解组合数及组合数的其它求法。

2.线性时间求阶乘的逆元。 

有兴趣的的话就去搜搜博客自学吧，博主以后再一一补上。