P2398 GCD SUM 题解

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前置知识：

整除分块

线性筛模板

算法一

对于 $30\%$ 的数据，$n\le 3\times 10^3$.

直接模拟就好了。

时间复杂度：$O(n^2\log n)$. 实际得分：$30pts$.

for(i from 1 to n)
for(j from 1 to n)
	s+=gcd(i,j)
print(s)	

算法二

对于 $60\%$ 的数据，$7000\le n\le 7100$.

注意到 $O(n^2\log n)$ 无法通过了。但是，我们可以计算出 $n=7000$ 的答案为 $275797760$. 然后，对于 $7001$ ~ $n$ 区间的答案，实际上就是 两倍的该区间与 $1\le i\le 7000$ 的两两 $\gcd$ 之和，再加上自己和自己区间答案。

？？？

就比方说，$a$ 和 $b$ 表示区间，定义 $a\times b$ 为 $a$ 区间与 $b$ 区间两两 $\gcd$ 和。那么，$x=a+b$，则 $x^2=(a+b{)}^2=a^2+2\times a\times b+b^2$.

而 $a^2$ 的答案被提前算出，然后 $b^2$ 区间长度 $\le 100$ 结束，$a\times b$ 计算也只需要 $7000\times 100=7\times 10^5$ 再加个 $\log$ 的时间，过了。

时间复杂度：$O(\text{wys})$. 实际得分：$60pts$.

s=275797760
for(i from 1 to 7000)
for(j from 7001 to n)
	s+=gcd(i,j)*2
for(i from 7001 to n)
for(j from 7001 to n)
	s+=gcd(i,j)
print(s)		

算法三

显然本题可以用 $\varphi$ 过，但是我们用 莫比乌斯反演！

优化时间复杂度常常需要从零开始。 —— 《深入浅出程序设计竞赛 - 基础篇》 某句改编

对，下面是推式子时间。

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\gcd (i,j)$$

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[\gcd (i,j)==d]$$

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }[\gcd (i,j)==1]$$

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{k|\gcd (i,j)}{\mu }_k$$

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^n\lfloor \frac{n}{T}{\rfloor }^2{\mu }_k(T=d\times k)$$

$$=\sum _{T=1}^n\sum _{d|T}d\times {\mu }_{\frac{T}{d}}\lfloor \frac{n}{T}{\rfloor }^2$$

$$=\sum _{T=1}^n\varphi (T)\lfloor \frac{n}{T}{\rfloor }^2$$

每一步都是运用了 $\mu$ 的基本性质，对最后一步的操作讲解一下：

你发现 ${\sum }_{d|T}d\times {\mu }_{\frac{T}{d}}$ 这玩意儿很像 $Id\ast \mu$，然后就是了，而 $Id\ast \mu =\varphi$，是不是很神奇？ 实际上是一个隐蔽的性质

推式子的基本要点总结：

1. 枚举 $\gcd$ 并降枚举上限。

2. 用 $\mu$ 套互质，然后瞬间和中间两个 $\sum$ 说再见。

3. 再换元，更改循环顺序，用奇特的性质再消掉一个 $\sum$。

4. 观察模拟。

本题到了 ${\sum }_{T=1}^n\varphi (T)\lfloor \frac{n}{T}{\rfloor }^2$ 这步，直接枚举即可通过了。

时间复杂度：$O(n)$. 实际得分：$100pts$.

算法四

考虑推式子之后一个加强。

题意基本不变，改范围为：

$T$ 组询问 $n$ 的答案，$T\le 5\times 10^5$，$n\le 5\times 10^5$.

显然 $O(n\times T)$ 过不了。

考虑 $\lfloor \frac{n}{T}{\rfloor }^2$ 可以整除分块，然后 $\varphi$ 可以预处理做前缀和。

这样可以单组询问 $O(\sqrt{n})$，预处理 $O(n)$.

此处应当有掌声！

时间复杂度：$O(n+T\sqrt{n})$.

实际得分：$100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e5+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

ll s[N]; bool h[N];
int phi[N],prime[N],cnt=0;
int n; ll ans=0;

inline void Euler(int n) {
	phi[1]=1; s[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!h[i]) phi[i]=i-1,prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=n;j++) {
			h[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break;}
			phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
		} s[i]=s[i-1]+phi[i];
	}
} //预处理 phi 和 s (s 为前缀和)

int main() {
	Euler(N-1); n=read();
	for(int i=1;i<=n;) {
		ll t=n/(n/i);
		ans+=1ll*(n/t)*(n/t)*(s[t]-s[i-1]);
		i=t+1; //整除分块板子
	} printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

附：本题没有取模，这是令人惊讶的一点——一般的大式子都要取模的。为什么呢？

因为，$n=10^5$ 时答案才 $72434344904$，而答案总不会超过 $n^3$ （每个 $\gcd \le n$ 哇，非常粗略的估算）。

$n=10^6\to ans=8643257847824$.

$n=10^7\to ans=1004297420038032$.

看到了吧，我们的估计大的多了，$\text{long long}$ 没有问题的。