P4317 花神的数论题 数位DP经典题 两种处理方法

乍一看无法数位DP。

但稍加思考发现：sum(i)的取值为1-50（二进制的位数）

所以我们可以把问题转化为：1-N中：各个数位1的个数和为x的数的个数。

这个问题很容进行数位DP，很经典的套路，具体见代码。

这题想+敲就花了不到半小时，但调了好久，只是因为我把nm[i]给取模了mod。（我吐了。。。）显然次幂不能取模。。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ls (o<<1)
#define rs (o<<1|1)
#define pb push_back
const int mod = 10000007;
int di[63];
ll nm[63];
//dp[i][j] : 处理到第i位，前面的数中出现了j个1，这种情况下：最终满足sm==p的数的个数 
ll dp[63][63];
//p：当前要求数位1个数
//处理到第len位，上一位是否达到限制，前面出现1的个数的和为sm，最终满足sm==p数的个数 
int p;
ll dfs(int len,bool limit,int sm)
{
	if(len==0)return (sm==p);
	if(!limit && ~dp[len][sm])return dp[len][sm];
	ll cnt=0;
	int up=limit?di[len]:1;
	for(int i=0;i<=up;i++)
	{
		if(sm+(i==1)>p)continue;
		cnt+=dfs(len-1,limit&&i==up,sm+(i==1));
	}
	if(!limit)dp[len][sm]=cnt;
	return cnt;
}
ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b/=2;
	}
	return ans;
}
ll cal(ll n)
{
	memset(nm,0,sizeof(nm));
	int k=0;
	while(n)
	{
		di[++k]=n%2;
		n/=2;
	}
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		memset(dp,-1,sizeof(dp));
		p=i;
		nm[i]=dfs(k,true,0);
	//	cout<>a;
  	cout<

 

方法二：

传统数位DP求的一般是\sum{f(i)}  1<=i<=n

而这一题是求连乘。

我们类比经典数位DP，把数量累加的过程改成连乘，保证可以记忆化即可。

//dp[i][j] : 处理到第i位，前面的数中出现了j个1，第i位及以后的数字未定，这种情况下组成的数x中，sum(x)的乘积和是多少 

显然，前面1的个数确定时，dp[i][j]的结果是唯一的。即可以记忆化。

考虑转移：

dp[i][j]=dp[i-1][j]*dp[i-1][j+1];

即当前位取0时sum连乘结果乘上，当前位取1时sum连成结果，就是当前位及以后数都不确定时（i，j确定），sum的连乘结果。

跟数位DP转移实质上是一样的。。可以多想想这里为啥

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ls (o<<1)
#define rs (o<<1|1)
#define pb push_back
const int mod = 10000007;
int di[63];
ll nm[63];
//dp[i][j] : 处理到第i位，前面的数中出现了j个1，第i位及以后的数字未定，这种情况下组成的数x中，sum(x)的乘积和是多少 
ll dp[63][63];
//p：当前要求数位1个数
//处理到第len位，上一位是否达到限制，前面出现1的个数的和为sm，第len位及以后的数字未定，这种情况下组成的数x中，sum(x)的乘积和是多少
int p;
ll dfs(int len,bool limit,ll sm)
{
	if(len==0)return max(sm,1ll);
	if(!limit && ~dp[len][sm])return dp[len][sm];
	ll cnt=1;
	int up=limit?di[len]:1; 
	//当前位为i，转移显然是后一位的所有情况的乘积。符合sum定义，就是把传统数位dp中+改为了*，用乘法表示数量累加 
	for(int i=0;i<=up;i++)
		cnt*=dfs(len-1,limit&&i==up,sm+(i==1)),cnt%=mod;
	if(!limit)dp[len][sm]=cnt;
	return cnt;
}

ll cal(ll n)
{
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	int k=0;
	while(n)
	{
		di[++k]=n%2;
		n/=2;
	}
	return dfs(k,true,0); 
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
  	cin.tie(0);
  	ll a;
  	cin>>a;
  	cout<