数论入门基础(同余定理/费马小定理/扩展欧几里德算法/中国剩余定理)~

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数论入门~~ 本文主要整理了一下  同余定理/费马小定理/扩展欧几里德算法/中国剩余定理  各自的概念描述、结论证明和模板应用,需要的可以参考一下咯~

 

一.同余定理

 

1.描述:

       同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足(a-b)能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m)

 

2.符号:

       两个整数a、b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a与b对模m同余或a同余于b模m。记作a≡b(mod m)

 

3.定义:

       设m是大于1的正整数,a、b是整数,如果两个整数同时除以一个整数得到的余数相同,即m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m)。显然有如下事实:

  • 若a≡0(mod m),则m|a;
  • a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同。

 

4.证明 :

(1)  充分性: 
若a和b用m相除留下相同的余数r,则 a=q1m+rb=q2m+r,q1和q2为某两个整数,由此的a-b=(q1m+r)-(q2m-r)=m(q1-q2),根据整除定义,我们有m|(a-b),由同余式定义得出结论:a≡b(mod m)。

(2)  必要性: 
若a和b用m相除留下相同的余数r,则 a=q1m+r,b=q2m+r,所以a-b=m(q1-q2) 故 m|(a-b)

 

5.性质:

  • 反身性:a≡a (mod m)

  • 对称性: 若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)

  • 传递性: 若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)

  • 同余式相加:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a ± c≡b ± d(mod m)

  • 同余式相乘:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则ac≡bd(mod m)

  • 线性运算:如果a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a ± c≡b ± d(mod m),且a * c≡b * d(mod m)

  • 除法:若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)

  • 幂运算:如果a ≡ b (mod m),那么a^n ≡ b^n (mod m)

  • 若a ≡ b (mod m),n|m,则 a ≡ b (mod n)

  • 若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数

 

6.应用:

    (1)高精度对单精度取模

             一个高精度数对一个数取余,可以把高精度数看成各位数的权值与个位数乘积的和。如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4,对这个数进行取余运算就是上面基本加和乘的应用。

#include
#include
using namespace std;
 
int main(){
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    int len = a.length();
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++){
        ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % b;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

 

     (2)快速幂取模

             将幂拆解为多个底数的平方次的积,如果指数为偶数,把指数除以2,并让底数的平方次取余,如果指数为奇数,就把多出来的底数记录下来,再执行偶数次的操作。

#include
using namespace std;
 
int PowerMod(int a, int b, int c){
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b > 0){
        if(b&1){
            ans *= (a % c);
        }
        b >>= 1;
        a = (a * a) % c;
    }
    ans %= c;
    return ans;
}
 
int main()
{
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << PowerMod(a, b, c) << endl;
    return 0;
}

 


二.费马小定理

 

1.费马小定理:

假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p)。即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

 

2.同余证法:

      任意取一个质数,比如13。考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,给这些数都乘上一个与13互质的数,比如3,得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。对于模13来说,这些数同余于3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,只是顺序不同而已。
       把1,2,3,…,12统统乘起来,乘积就是12的阶乘12!。把3,6,9,…,36也统统乘起来,并且提出公因子3,乘积就是312×12!。对于模13来说,这两个乘积都同余于1,2,3,…,12系列,尽管顺序不是一一对应,即312×12!≡12!mod 13。两边同时除以12!得312≡1 mod 13。如果用p代替13,用x代替3,就得到费马小定理xp-1≡1 mod p。

以zoj3785为例:

It's Saturday today, what day is it after 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + N^N days? (1 <= N <= 1000000000).

对于

1^1     2^2     3^3     4^4     5^5     6^6     7^7
8^8     9^9     10^10   11^11   12^12   13^13   14^14
15^15   16^16   17^17   18^18   19^19   20^20   21^21
22^22   23^23   24^24   25^25   26^26   27^27   28^28
29^29   30^30   31^31   32^32   33^33   34^34   35^35
36^36   37^37   38^38   39^39   40^40   41^41   42^42
43^43   44^44   45^45   46^46   47^47   48^48   49^49

都对7取模后

1^1       2^2       3^3      4^4      5^5      6^6      0^7
1^8       2^9       3^10     4^11     5^12     6^13     0^14
1^15      2^16      3^17     4^18     5^19     6^20     0^21
1^22      2^23      3^24     4^25     5^26     6^27     0^28
1^29      2^30      3^31     4^32     5^33     6^34     0^35
1^36      2^37      3^38     4^39     5^40     6^41     0^42
1^43      2^44      3^45     4^46     5^47     6^48     0^49

根据费马小定理x6≡1(mod 7)可得

1^1     2^2       3^3       4^4       5^5      6^6       0
1^2     2^3       3^4       4^5       5^6      6^1       0 
1^3     2^4       3^5       4^6       5^1      6^2       0
1^4     2^5       3^6       4^1       5^2      6^3       0
1^5     2^6       3^1       4^2       5^3      6^4       0
1^6     2^1       3^2       4^3       5^4      6^5       0
1^1     2^2       3^3       4^4       5^5      6^6       0

每六行一个循环,循环节长度为42

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAX = 1000+10;
const double eps = 1e-10;
const double PI = acos(-1.0);
long long n;
int t;
int s[50];
int main()
{
    for(int i=1; i<=44; i++)
    {
        int flag=i%7;
        int ans=1;
        for(int j=1; j<=i; j++)
            ans=(ans*flag)%7;
        s[i]=ans;
    }
    for(int i=1; i<=44; i++)
        s[i]+=s[i-1];
    scanf("%d", &t);
    long long ans;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld", &n);
        ans=(n/42%7*(s[42]%7)%7+s[n%42]%7)%7;
        ans = (ans+6)%7;
        if(ans==1)printf("Monday\n");
        else if(ans==2)printf("Tuesday\n");
        else if(ans==3)printf("Wednesday\n");
        else if(ans==4)printf("Thursday\n");
        else if(ans==5)printf("Friday\n");
        else if(ans==6)printf("Saturday\n");
        else printf("Sunday\n");
 
    }
    return 0;
}

 


三.欧几里德算法 and 扩展欧几里德算法(gcd and exgcd)

 

(一) 欧几里德算法 (gcd)

 

1.描述:

        欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。

 

2.基本算法:

       设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

 

3.证明:

      方法一:

      a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

  假设d是a,b的一个公约数,则有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因此d是(b,a mod b)的公约数

  假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

  d | b , d |r ,但是a = kb +r

  因此d也是(a,b)的公约数

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

 

    方法二:

    要证欧几里德算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思,r=a mod b
    下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r)
    设c是a,b的最大公约数,即c=gcd(a,b),则有 a=mc,b=nc,其中m,n为正整数,且m,n互为质数
    由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整数,
    则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
    b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(假设n,m-qn不互质,则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数,且d>1
    则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc,与前提矛盾,所以n ,m-qn一定互质)
    则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
    得证。

 

4.算法的实现:

 (1)递归算法,代码:

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

 (2)优化如下:

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

 (3)用迭代形式:

int gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
      int r = b;
      b = a % b;
      a = r;
    }
    return a;
}

 

(二) 扩展欧几里德算法 (exgcd)

 

1.基本算法:

       对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

2.证明:

       设 a>b。

  (1) 当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

  (2) ab!=0 时

  设 ax1+by1=gcd(a,b);

  bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

  即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

  根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

      这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

   上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

 

3.算法的实现:

 (1)递归代码:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

 (2)非递归代码:

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
    int x1,y1,x0,y0;
    x0=1; y0=0;
    x1=0; y1=1;
    x=0; y=1;
    int r=m%n;
    int q=(m-r)/n;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
        x0=x1; y0=y1;
        x1=x; y1=y;
        m=n; n=r; r=m%n;
        q=(m-r)/n;
    }
    return n;
}

 

4.应用:

(1) 解决不定方程:

        对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足:
       p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
      q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后,应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)),

       p * a+q * b = c的其他整数解满足:

      p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

      q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

      p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

相关证明可参考:http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html

如,解不定方程ax+by=c代码:

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%d)
        return false;
    int k=c/d;
    x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
    return true;
}

(2)求解模线性方程:

    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时,方程有 gcd(a,n) 个解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

    设 d= gcd(a,n),假如整数 x 和 y,满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b,则方程

    a* x0+ n* y0= d, 方程两边乘以 b/ d,(因为 d|b,所以能够整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
    所以 x= x0* b/ d,y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解,所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n,且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

    设ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为:(ans%s+s)%s;

    相关证明:

    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)

    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                             = b

     

    首先看一个简单的例子:

    5x=4(mod3)

    解得x = 2,5,8,11,14.......

    由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.

    那么这个解的间隔是怎么决定的呢?

    如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.

    我们设解之间的间隔为dx.

    那么有

   a*x = b(mod n);

   a*(x+dx) = b(mod n);

   两式相减,得到:

   a*dx(mod n)= 0;

   也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

    设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

    即a*dx = a*n/d;

    所以dx = n/d.

    因此解之间的间隔就求出来了.

    代码如下:

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
    int x,y,x0,i;
    int d=exgcd(a,n,x,y);
    if(b%d)
        return false;
    x0=x*(b/d)%n;   //特解
    for(i=1;i

(3)求模的逆元:

       同余方程ax≡b (mod n),如果 gcd(a,n)== 1,则方程只有唯一解。

      在这种情况下,如果 b== 1,同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

      这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

      对于同余方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

      ax+ ny= 1,x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

 


四.中国剩余定理 ( 孙子定理 / CRT )

 

1.描述:

设正整数两两互素,则同余方程组

                             

有整数解。并且在模下的解是唯一的,解为

                               

其中,而的逆元。

 

2.代码实现:

(1)互质:

//求M%A=a,M%B=b,...中的M,其中A,B,C...互质
int CRT(int a[],int m[],int n){  
    int M = 1;  
    int ans = 0;  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        M *= m[i];  
    for(int i=1; i<=n; i++){  
        int x, y;  
        int Mi = M / m[i];  
        ex_gcd(Mi, m[i], x, y);  
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;  
    }  
    if(ans < 0) 
       ans += M;  
    return ans;  
}  

(2)非互质:

一般的中国剩余定理要求mi两两互质,但是保证互质条件太苛刻了,若mi并不满足两两互质时,就要采用两两合并的思想,假设要合并如下两个方程 
x=a1+m1*x1 
x=a2+m2*x2

得到 
a1+m1*x1 = a2+m2*x2 → m1*x1+m2*x2 = a2-a1

再通过扩展欧几里得算法解出x1的最小正整数解,代入 
x=a1+m1*x1

得到x后合并为一个方程的结果为 
y ≡ x(mod lcm(m1,m2))

这样一直合并下去,最终可以求得同余方程组的解。

代码

bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)  {  
    LL d = gcd(m1, m2);  
    LL c = a2 - a1;  
    if(c % d) return false;  
    c = (c % m2 + m2) % m2;  
    m1 /= d;  
    m2 /= d;  
    c /= d;  
    c *= Inv(m1, m2);//Inv为乘法逆元,数论常用内容——欧几里得算法与扩展欧几里得算法
    c %= m2;  
    c *= m1 * d;  
    c += a1;  
    m3 = m1 * m2 * d;  
    a3 = (c % m3 + m3) % m3;  
    return true;  
}  

LL CRT(LL a[], LL m[], int n)  {  
    LL a1 = a[1];  
    LL m1 = m[1];  
    for(int i=2; i<=n; i++)  {  
        LL a2 = a[i];  
        LL m2 = m[i];  
        LL m3, a3;  
        if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))  
            return -1;  
        a1 = a3;  
        m1 = m3;  
    }  
    return (a1 % m1 + m1) % m1;  
}  

 

3.例题:

(1) POJ 1006

题意:

人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

代码:

#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
int a[4], m[4];
 
void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}
 
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
    int M = 1;
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int x, y;
        int Mi = M / m[i];
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}
 
int main()
{
    int p, e, i, d, t = 1;
    while(cin>>p>>e>>i>>d)
    {
        if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
            break;
        a[1] = p;
        a[2] = e;
        a[3] = i;
        m[1] = 23;
        m[2] = 28;
        m[3] = 33;
        int ans = CRT(a, m, 3);
        if(ans <= d)
            ans += 21252;
        cout<<"Case "<

 

(2) POJ 2891

#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1005;
 
LL a[N], m[N];
 
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b? gcd(b, a % b) : a;
}
 
void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    LL tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}
 
LL Inv(LL a, LL b)
{
    LL d = gcd(a, b);
    if(d != 1) return -1;
    LL x, y;
    extend_Euclid(a, b, x, y);
    return (x % b + b) % b;
}
 
bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)
{
    LL d = gcd(m1, m2);
    LL c = a2 - a1;
    if(c % d) return false;
    c = (c % m2 + m2) % m2;
    m1 /= d;
    m2 /= d;
    c /= d;
    c *= Inv(m1, m2);
    c %= m2;
    c *= m1 * d;
    c += a1;
    m3 = m1 * m2 * d;
    a3 = (c % m3 + m3) % m3;
    return true;
}
 
LL CRT(LL a[], LL m[], int n)
{
    LL a1 = a[1];
    LL m1 = m[1];
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        LL a2 = a[i];
        LL m2 = m[i];
        LL m3, a3;
        if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))
            return -1;
        a1 = a3;
        m1 = m3;
    }
    return (a1 % m1 + m1) % m1;
}
 
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);
        LL ans = CRT(a, m, n);
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

(3) HDU 1573

分析:

        这个题由于数据范围小,那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数,找到最小的正整数解,然后后面的所有解都可以通过这个得到。

代码:

#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
const int N = 25;
 
int a[N], b[N];
 
int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
 
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n, m;
        cin>>n>>m;
        for(int i=0; i>a[i];
        for(int i=0; i>b[i];
        int lcm = 1;
        for(int i=0; i

 

参考资料:

https://blog.csdn.net/zcy_2016/article/details/55054146

https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8050018

https://blog.csdn.net/tick_tock97/article/details/71313058

https://blog.csdn.net/qq_36345036/article/details/77407069

https://blog.csdn.net/QQ1353217816/article/details/79706975

http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

 

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