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宇宙第一小仙女\(^o^)/~~萌量爆表求带飞=≡Σ((( つ^o^)つ~ dalao们点个关注呗~~
数论入门~~ 本文主要整理了一下 同余定理/费马小定理/扩展欧几里德算法/中国剩余定理 各自的概念描述、结论证明和模板应用,需要的可以参考一下咯~
同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足(a-b)能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m)
。
两个整数a、b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a与b对模m同余或a同余于b模m。记作a≡b(mod m)
设m是大于1的正整数,a、b是整数,如果两个整数同时除以一个整数得到的余数相同,即m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m)。显然有如下事实:
(1) 充分性:
若a和b用m相除留下相同的余数r,则 a=q1m+r
, b=q2m+r
,q1和q2为某两个整数,由此的a-b=(q1m+r)-(q2m-r)=m(q1-q2)
,根据整除定义,我们有m|(a-b)
,由同余式定义得出结论:a≡b(mod m)。
(2) 必要性:
若a和b用m相除留下相同的余数r,则 a=q1m+r
,b=q2m+r
,所以a-b=m(q1-q2)
故 m|(a-b)
。
反身性:a≡a (mod m)
对称性: 若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)
传递性: 若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)
同余式相加:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a ± c≡b ± d(mod m)
同余式相乘:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则ac≡bd(mod m)
线性运算:如果a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a ± c≡b ± d(mod m),且a * c≡b * d(mod m)
除法:若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)
幂运算:如果a ≡ b (mod m),那么a^n ≡ b^n (mod m)
若a ≡ b (mod m),n|m,则 a ≡ b (mod n)
若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数
(1)高精度对单精度取模
一个高精度数对一个数取余,可以把高精度数看成各位数的权值与个位数乘积的和。如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4,对这个数进行取余运算就是上面基本加和乘的应用。
#include
#include
using namespace std;
int main(){
string a;
int b;
cin >> a >> b;
int len = a.length();
int ans = 0;
for(int i = 0; i < len; i++){
ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % b;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
(2)快速幂取模
将幂拆解为多个底数的平方次的积,如果指数为偶数,把指数除以2,并让底数的平方次取余,如果指数为奇数,就把多出来的底数记录下来,再执行偶数次的操作。
#include
using namespace std;
int PowerMod(int a, int b, int c){
int ans = 1;
a = a % c;
while(b > 0){
if(b&1){
ans *= (a % c);
}
b >>= 1;
a = (a * a) % c;
}
ans %= c;
return ans;
}
int main()
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
cout << PowerMod(a, b, c) << endl;
return 0;
}
假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p)。即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
任意取一个质数,比如13。考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,给这些数都乘上一个与13互质的数,比如3,得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。对于模13来说,这些数同余于3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,只是顺序不同而已。
把1,2,3,…,12统统乘起来,乘积就是12的阶乘12!。把3,6,9,…,36也统统乘起来,并且提出公因子3,乘积就是312×12!。对于模13来说,这两个乘积都同余于1,2,3,…,12系列,尽管顺序不是一一对应,即312×12!≡12!mod 13。两边同时除以12!得312≡1 mod 13。如果用p代替13,用x代替3,就得到费马小定理xp-1≡1 mod p。
以zoj3785为例:
It's Saturday today, what day is it after 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + N^N days? (1 <= N <= 1000000000).
对于
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 7^7
8^8 9^9 10^10 11^11 12^12 13^13 14^14
15^15 16^16 17^17 18^18 19^19 20^20 21^21
22^22 23^23 24^24 25^25 26^26 27^27 28^28
29^29 30^30 31^31 32^32 33^33 34^34 35^35
36^36 37^37 38^38 39^39 40^40 41^41 42^42
43^43 44^44 45^45 46^46 47^47 48^48 49^49
都对7取模后
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0^7
1^8 2^9 3^10 4^11 5^12 6^13 0^14
1^15 2^16 3^17 4^18 5^19 6^20 0^21
1^22 2^23 3^24 4^25 5^26 6^27 0^28
1^29 2^30 3^31 4^32 5^33 6^34 0^35
1^36 2^37 3^38 4^39 5^40 6^41 0^42
1^43 2^44 3^45 4^46 5^47 6^48 0^49
根据费马小定理x6≡1(mod 7)可得
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0
1^2 2^3 3^4 4^5 5^6 6^1 0
1^3 2^4 3^5 4^6 5^1 6^2 0
1^4 2^5 3^6 4^1 5^2 6^3 0
1^5 2^6 3^1 4^2 5^3 6^4 0
1^6 2^1 3^2 4^3 5^4 6^5 0
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0
每六行一个循环,循环节长度为42
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAX = 1000+10;
const double eps = 1e-10;
const double PI = acos(-1.0);
long long n;
int t;
int s[50];
int main()
{
for(int i=1; i<=44; i++)
{
int flag=i%7;
int ans=1;
for(int j=1; j<=i; j++)
ans=(ans*flag)%7;
s[i]=ans;
}
for(int i=1; i<=44; i++)
s[i]+=s[i-1];
scanf("%d", &t);
long long ans;
while(t--)
{
scanf("%lld", &n);
ans=(n/42%7*(s[42]%7)%7+s[n%42]%7)%7;
ans = (ans+6)%7;
if(ans==1)printf("Monday\n");
else if(ans==2)printf("Tuesday\n");
else if(ans==3)printf("Wednesday\n");
else if(ans==4)printf("Thursday\n");
else if(ans==5)printf("Friday\n");
else if(ans==6)printf("Saturday\n");
else printf("Sunday\n");
}
return 0;
}
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。
设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
方法一:
a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
方法二:
要证欧几里德算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思,r=a mod b
下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r)
设c是a,b的最大公约数,即c=gcd(a,b),则有 a=mc,b=nc,其中m,n为正整数,且m,n互为质数
由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整数,
则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(假设n,m-qn不互质,则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数,且d>1
则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc,与前提矛盾,所以n ,m-qn一定互质)
则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
得证。
(1)递归算法,代码:
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return
gcd(b,a%b);
}
(2)优化如下:
int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
(3)用迭代形式:
int gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
设 a>b。
(1) 当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
(2) ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
(1)递归代码:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
(2)非递归代码:
int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=m%n;
int q=(m-r)/n;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
m=n; n=r; r=m%n;
q=(m-r)/n;
}
return n;
}
(1) 解决不定方程:
对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足:
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后,应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)),
p * a+q * b = c的其他整数解满足:
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
相关证明可参考:http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
如,解不定方程ax+by=c代码:
bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
int d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)
return false;
int k=c/d;
x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解
return true;
}
(2)求解模线性方程:
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时,方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n),假如整数 x 和 y,满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b,则方程
a* x0+ n* y0= d, 方程两边乘以 b/ d,(因为 d|b,所以能够整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d,y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解,所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n,且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为:(ans%s+s)%s;
相关证明:
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子:
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢?
如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减,得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下:
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=exgcd(a,n,x,y);
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n; //特解
for(i=1;i
(3)求模的逆元:
同余方程ax≡b (mod n),如果 gcd(a,n)== 1,则方程只有唯一解。
在这种情况下,如果 b== 1,同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1,x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
设正整数两两互素,则同余方程组
有整数解。并且在模下的解是唯一的,解为
其中,而为模的逆元。
(1)互质:
//求M%A=a,M%B=b,...中的M,其中A,B,C...互质
int CRT(int a[],int m[],int n){
int M = 1;
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
M *= m[i];
for(int i=1; i<=n; i++){
int x, y;
int Mi = M / m[i];
ex_gcd(Mi, m[i], x, y);
ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
}
if(ans < 0)
ans += M;
return ans;
}
(2)非互质:
一般的中国剩余定理要求mi两两互质,但是保证互质条件太苛刻了,若mi并不满足两两互质时,就要采用两两合并的思想,假设要合并如下两个方程
x=a1+m1*x1
x=a2+m2*x2
得到
a1+m1*x1 = a2+m2*x2 → m1*x1+m2*x2 = a2-a1
再通过扩展欧几里得算法解出x1的最小正整数解,代入
x=a1+m1*x1
得到x后合并为一个方程的结果为
y ≡ x(mod lcm(m1,m2))
这样一直合并下去,最终可以求得同余方程组的解。
代码:
bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3) {
LL d = gcd(m1, m2);
LL c = a2 - a1;
if(c % d) return false;
c = (c % m2 + m2) % m2;
m1 /= d;
m2 /= d;
c /= d;
c *= Inv(m1, m2);//Inv为乘法逆元,数论常用内容——欧几里得算法与扩展欧几里得算法
c %= m2;
c *= m1 * d;
c += a1;
m3 = m1 * m2 * d;
a3 = (c % m3 + m3) % m3;
return true;
}
LL CRT(LL a[], LL m[], int n) {
LL a1 = a[1];
LL m1 = m[1];
for(int i=2; i<=n; i++) {
LL a2 = a[i];
LL m2 = m[i];
LL m3, a3;
if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))
return -1;
a1 = a3;
m1 = m3;
}
return (a1 % m1 + m1) % m1;
}
(1) POJ 1006
题意:
人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。
代码:
#include
#include
#include
using namespace std;
int a[4], m[4];
void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
extend_Euclid(b, a % b, x, y);
int tmp = x;
x = y;
y = tmp - (a / b) * y;
}
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
int M = 1;
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
M *= m[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int x, y;
int Mi = M / m[i];
extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
}
if(ans < 0) ans += M;
return ans;
}
int main()
{
int p, e, i, d, t = 1;
while(cin>>p>>e>>i>>d)
{
if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
break;
a[1] = p;
a[2] = e;
a[3] = i;
m[1] = 23;
m[2] = 28;
m[3] = 33;
int ans = CRT(a, m, 3);
if(ans <= d)
ans += 21252;
cout<<"Case "<
(2) POJ 2891
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1005;
LL a[N], m[N];
LL gcd(LL a,LL b)
{
return b? gcd(b, a % b) : a;
}
void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
extend_Euclid(b, a % b, x, y);
LL tmp = x;
x = y;
y = tmp - (a / b) * y;
}
LL Inv(LL a, LL b)
{
LL d = gcd(a, b);
if(d != 1) return -1;
LL x, y;
extend_Euclid(a, b, x, y);
return (x % b + b) % b;
}
bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)
{
LL d = gcd(m1, m2);
LL c = a2 - a1;
if(c % d) return false;
c = (c % m2 + m2) % m2;
m1 /= d;
m2 /= d;
c /= d;
c *= Inv(m1, m2);
c %= m2;
c *= m1 * d;
c += a1;
m3 = m1 * m2 * d;
a3 = (c % m3 + m3) % m3;
return true;
}
LL CRT(LL a[], LL m[], int n)
{
LL a1 = a[1];
LL m1 = m[1];
for(int i=2; i<=n; i++)
{
LL a2 = a[i];
LL m2 = m[i];
LL m3, a3;
if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))
return -1;
a1 = a3;
m1 = m3;
}
return (a1 % m1 + m1) % m1;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);
LL ans = CRT(a, m, n);
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
(3) HDU 1573
分析:
这个题由于数据范围小,那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数,找到最小的正整数解,然后后面的所有解都可以通过这个得到。
代码:
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 25;
int a[N], b[N];
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
int n, m;
cin>>n>>m;
for(int i=0; i>a[i];
for(int i=0; i>b[i];
int lcm = 1;
for(int i=0; i
参考资料:
https://blog.csdn.net/zcy_2016/article/details/55054146
https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8050018
https://blog.csdn.net/tick_tock97/article/details/71313058
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