Matlab求常微分方程组的解析解

最近同学毕设需要求解循坏摆的微分方程，我在帮忙过程中学习了一下常微分方程的解析解和数值解的求法，在此分享。
以下讲解遵循Matlab官方文档提供的方程和写法。
（强烈建议大家有问题多看官方文档，非常有用）

介绍一下核心函数

常用形式：S = dsolve(eqn,cond)
功能介绍：解微分方程eqn，其中eqn是一个符号方程，cond是初值条件(边界条件)。使用diff和==表示微分方程。例如，diff(y,x)==y表示方程dy/dx=y。通过将eqn指定为这些方程的向量来求解微分方程组。

1. 一阶常微分方程求解（无初值）

方程：dy/dt=ay
代码：

syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量(可有可无)。y(t)表示y是关于t的函数，求解t。 
eqn=diff(y,t)==a*y; %diff(y,t)即dy/dt，默认为1阶。
S=dsolve(eqn) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可

说明：首先定义方程所用变量和未知常量，然后列出微分方程，最后dsolve()求解。
结果：

S =
C2*exp(a*t)

分析：C2为未定的常数项，需要提供一个初值，才能确定。

2. 二阶常微分方程求解（无初值）

方程：dy²/dt²=ay
代码：

syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量。y(t)表示y是关于t的函数，求解t。 
eqn=diff(y,t,2)==a*y; %diff(y,t,2)即dy²/dt²，第三个参数表示阶数，更高阶数一样。
S=dsolve(eqn) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可

结果：

S =
C3*exp(a^(1/2)*t) + C4*exp(-a^(1/2)*t)

分析：无初值情况下，C3，C4未定，更高阶数解法类推，修改diff()第三个参数即可。

3. 二阶微分方程求解（有初值）

方程：dy²/dt²=ay
代码：

syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量。y(t)表示y是关于t的函数，求解t。 
eqn=diff(y,t,2)==a*y; %定义diff(y,t,2)即dy²/dt²，第三个参数表示阶数。
Dy=diff(y,t); %定义方程Dy为dy/dt；
cond=[y(0)==5,Dy(0)==1]; %定义初值，t=0时，y=5,dy/dt=1;
S=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可

说明：一阶微分方程求解时，不需要定义Dy，二阶方程有dy/dt的初值时，需要定义
结果：

S =
(exp(a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) + 1))/(2*a^(1/2)) + (exp(-a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) - 1))/(2*a^(1/2))

分析：有初值情况下，无未定常数项

4. 一阶微分方程组求解（有初值）

方程：dy/dt=z；
dz/dt=-y
代码：

syms y(t) z(t); %syms 定义方程用的变量 
eqn=[diff(y,t)==z,diff(z,t)==-y]; %定义方程组dy/dt=z，dz/dt=-y
cond=[y(0)==1,z(1)==1]; %定义初值，t=0时，y=5；t=1时，y=1；
[ySol zSol]=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可

解释：老套路，只不过要定义俩方程，给俩初值
结果：

ySol =
cos(t - 1)/(2*cos(1)) - cos(t + 1)/(2*cos(1)) + cos(t - atan(1/cos(1)))*(1/cos(1)^2 + 1)^(1/2)
zSol =
sin(t + 1)/(2*cos(1)) - sin(t - 1)/(2*cos(1)) + (cos(t + atan(cos(1)))*(cos(1)^2 + 1)^(1/2))/cos(1)

5. 无法求解情况

方程：dy²/dt²=(1-y²)*dy/dt-y
代码：

syms y(t) %syms 定义方程用的变量和常量
eqn=diff(y,2)==(1-y^2)*diff(y)-y; %定义方程dy²/dt²=(1-y²)*dy/dt-y
cond=y(0)==1; %定义初值，t=0时，y=1
S=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可

解释：方程本身看起来不复杂，但是无法求解
结果：

警告: Explicit solution could not be found. 
> In dsolve (line 201) 
S =
[ empty sym ]

分析：特定解无法求出，结果是空的方程

6. 无法求解解决方案

遇到无法求解的情况，dsolve就束手无策了，但是Matlab依旧强大，提供了求数值解的方法，非常有效。
我会在另一篇博文里面讲解如何对复杂的微分方程进行数值求解，这才是我解决同学毕设问题的方案。(已写，点击此处查看)
这里先把同学的题目放在这里，大家可以编写解析解求解方案试一下，反正我求解不出来。
循环摆微分方程如下：

给定的初值（w接近0，但实际上不能设置为0）：

我的求解代码如下：

syms R(t) v(t) w(t);
eqns=[diff(R,t)==-v/w-0.01,...
    diff(v,t)==(10*9.8-(w^2*R+9.8*sin(t))*exp(0.1*(t+pi/2)))/(w*11),...
    diff(w,t)==w*0.01/R+2*v/R+9.8*cos(t)/(w*R)];
cond=[R(0)==1,v(0)==0,w(0)==1e3];
S=dsolve(eqns,cond);

7. 加油！