【算法设计与分析】04 函数的渐进的界

今天学习函数的渐进的界，会涉及多种数学符号。对以后学习分析算法复杂度有很大的帮助。

1 大$O$符号

• 定义： 设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数. 若存在正数 c 和 n₀， 使得
  对一切 n $\ge$ n₀有:
  $$c\le f(n)\le cg(n)$$
  成立。则称f(n)的渐近的上届是g(n)。记作：
  $$f(n)=O(g(n))$$

例子：

• 设$f(n)=n^2+2$,则
  $f(n)=O(n^2),取c=2，n_0=1即可$
  $f(n)=O(n^3),取c=3，n_0=2即可$

对于大$O$符号，有一下几条概念需要注意：

1. $f(n)=O(g(n)),f(n)的阶不高于g(n)的阶$
2. 可能存在多个正数c，只要指出其中一个即可，
3. 对前面有限个值可以不满足不等式
4. 常函数可以写成$O(1)$。

2 大$\Omega$符号

• 定义：设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数. 若存在正数 c 和 n₀，使得对一切 n $\ge$ n0有：

$$0\le cg(n)\le f(n)$$
成立。则称$f(n)$的渐近的下届是$g(n)$，记作：
$$f(n)=\Omega (g(n))$$

例子：

• 设$f(n)=n^2+2$,则
  $f(n)=\Omega (n^2),取c=1，n_0=1即可$
  $f(n)=\Omega (100n),取c=1/100，n_0=1即可$

对于$\Omega$符号，需要注意以下几点：

1. $f(n)=\Omega (g(n)),f(n)的阶不低于g(n)的阶$
2. 可能存在多个正数c，只要指出其中一个即可
3. 对前面有限个n值可以不满足上述不等式

3 小$o$符号

• 定义：设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数. 若对任意正数 c 都存在 n₀，使得对一切 n $\ge$ n₀有：
  $$0\le f(n)<cg(n)$$
  成立。则记作：
  $$f(n)=o(g(n))$$

例子：

• 设$f(n)=n^2+2$,则
  $f(n)=o(n^3),c\ge 1显然成立。因为n^2+n<c{n}^3（n_0=2）$
  $对于1>c>0，取n_0>\lceil \frac{2}{c}\rceil 即可，因为：$
  $cn\ge c{n}_0>2$ （当n$\ge n_0$）
  $n^2+n<2n^2<c{n}^3$

对于小$o$符号，需要注意以下几点：

1. $f(n)=o(g(n)),f(n)的阶低于g(n)的阶$
2. 对不同正数c，n₀ 不一样，c越小，n₀越大。
3. 对前面有限个n值可以不满足上述不等式

4 小$\omega$符号

• 定义：设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数. 若对任意正数 c 都存在 n₀，使得对一切 n $\ge$ n₀有：
  $$0\le cg(n)<f(n)$$
  成立。则记作：
  $$f(n)=\omega (g(n))$$

例子：

• 设$f(n)=n^2+2$,则
  $f(n)=\omega (n),不能写f(n)=\omega (n^2),因为取c=2，不存在n_0，使得对一切n\ge n_0有下式成立$
  $$c{n}^2=2n^2<n^2+n（不成立）$$

对于小$\omega$符号，需要注意以下几点：

1. $f(n)=\omega (g(n)),f(n)的阶高于g(n)的阶.$
2. $对不同的正数c,n_0不等，c越大n_0越大.$
3. 对前面有限个 n 值可以 不满足不等式.

5 $\Theta$符号

• 定义：若$f(n)=O(g(n))且f(n)=\Omega (g(n)),$则记作：

$$f(n)=\Theta (g(n))$$

例子： $f(n)=n^2+n,g(n)=100n^2，那么有$
$f(n)=\Theta (g(n))$

注意以下两点：

1. $f(n)的阶与g(n)的阶相等$
2. 对前面有限个n值，可以不满足条件

6 总结

• 五种表示函数的阶的符号：$O,\Omega ,o,\omega ,\Theta$
• 理解它们的定义
• 如何用定义证明函数的阶？下一篇文章继续学习。