SVD在推荐系统中的应用

mahout中有SVD的推荐策略,今天查了一下资料了解了一下算法原理,本质上是使用SVD方法做特征降维,然后再计算相似度。下面这篇文章写的不错,和大家分享一下。


转自:http://yanyiwu.com/work/2012/09/10/SVD-application-in-recsys.html


线性代数相关知识:

任意一个M*N的矩阵A(M行*N列M>N),可以被写成三个矩阵的乘积:

1. U:(M行M列的列正交矩阵)

2. S:(M*N的对角线矩阵,矩阵元素非负)

3. V:(N*N的正交矩阵的倒置)

A=U*S*V'(注意矩阵V需要倒置)


直观地说:

假设我们有一个矩阵,该矩阵每一列代表一个user,每一行代表一个item。

svd-recsys

如上图,ben,tom….代表user,season n代表item

矩阵值代表评分(0代表未评分):

如 ben对season1评分为5,tom对season1 评分为5,tom对season2未评分。


机器学习和信息检索:

机器学习的一个最根本也是最有趣的特性是数据压缩概念的相关性。

如果我们能够从数据中抽取某些有意义的感念,则我们能用更少的比特位来表述这个数据。

从信息论的角度则是数据之间存在相关性,则有可压缩性。

SVD就是用来将一个大的矩阵以降低维数的方式进行有损地压缩。


降维:(相对于机器学习中的PCA)

下面我们将用一个具体的例子展示svd的具体过程。

首先是A矩阵。

A =

     5     5     0     5
     5     0     3     4
     3     4     0     3
     0     0     5     3
     5     4     4     5
     5     4     5     5

(代表上图的评分矩阵)


使用matlab调用svd函数:

[U,S,Vtranspose]=svd(A)

U =
   -0.4472   -0.5373   -0.0064   -0.5037   -0.3857   -0.3298
   -0.3586    0.2461    0.8622   -0.1458    0.0780    0.2002
   -0.2925   -0.4033   -0.2275   -0.1038    0.4360    0.7065
   -0.2078    0.6700   -0.3951   -0.5888    0.0260    0.0667
   -0.5099    0.0597   -0.1097    0.2869    0.5946   -0.5371
   -0.5316    0.1887   -0.1914    0.5341   -0.5485    0.2429

S =
   17.7139         0         0         0
         0    6.3917         0         0
         0         0    3.0980         0
         0         0         0    1.3290
         0         0         0         0
         0         0         0         0

Vtranspose =
   -0.5710   -0.2228    0.6749    0.4109
   -0.4275   -0.5172   -0.6929    0.2637
   -0.3846    0.8246   -0.2532    0.3286
   -0.5859    0.0532    0.0140   -0.8085


分解矩阵之后我们首先需要明白S的意义。

可以看到S很特别,是个对角线矩阵。

每个元素非负,而且依次减小,从几何意义上来说,此值和特征向量中的特征值的权重有关。

若想进一步了解SVD分解,推荐读下面这篇文章:

机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用

http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html


所以可以取S对角线上前k个元素。

当k=2时候即将S(6*4)降维成S(2*2)

同时U(6*6),Vtranspose(4*4)相应地变为 U(6*2),Vtranspose(4*2).


如下图(图片里的usv矩阵元素值和我自己matlab算出的usv矩阵元素值有些正负不一致,但是本质是相同的):

svd-recsys


此时我们用降维后的U,S,V来相乘得到A2

A2=U(1:6,1:2)*S(1:2,1:2)*(V(1:4,1:2))' //matlab语句
A2 =

    5.2885    5.1627    0.2149    4.4591
    3.2768    1.9021    3.7400    3.8058
    3.5324    3.5479   -0.1332    2.8984
    1.1475   -0.6417    4.9472    2.3846
    5.0727    3.6640    3.7887    5.3130
    5.1086    3.4019    4.6166    5.5822

此时我们可以很直观地看出,A2和A很接近,这就是之前说的降维可以看成一种数据的有损压缩。


接下来我们开始分析该矩阵中数据的相关性

我们将u的第一列当成x值,第二列当成y值(即u的每一行用一个二维向量表示)

同理,v的每一行也用一个二维向量表示。

如下图:

svd-recsys

从图中可以看出:

Season5,Season6特别靠近。Ben和Fred也特别靠近。

同时我们仔细看一下A矩阵可以发现,A矩阵的第5行向量和第6行向量特别相似,Ben所在的列向量和Fred所在的列向量也特别相似。


所以,从直观上我们发现,U矩阵和V矩阵可以近似来代表A矩阵,换据话说就是将A矩阵压缩成U矩阵和V矩阵,至于压缩比例得看当时对S矩阵取前k个数的k值是多少。


到这里,我们已经完成了一半。


寻找相似用户

我们假设,现在有个名字叫Bob的新用户,并且已知这个用户对season n的评分向量为:[5 5 0 0 0 5]。(此向量为行向量)

我们的任务是要对他做出个性化的推荐。

我们的思路首先是利用新用户的评分向量找出该用户的相似用户。

svd-recsys

对图中公式不做证明,只需要知道结论:得到一个Bob的二维向量,即知道Bob的坐标。(本质上是特征的降维转换)


将Bob坐标添加进原来的图中:

svd-recsys

然后从图中找出和Bob最相似的用户。


注意,最相似并不是距离最近的用户,这里的相似用余弦相似度计算,即夹角与Bob最小的用户坐标,可以计算出最相似的用户是ben。


接下来的推荐策略就完全取决于个人选择了。


这里介绍一个非常简单的推荐策略:

找出最相似的用户,即ben。

观察ben的评分向量为:【5 5 3 0 5 5】。

对比Bob的评分向量:【5 5 0 0 0 5】。

然后找出ben评分过而Bob未评分的item并排序,即【season 5:5,season 3:3】。

即推荐给Bob的item依次为 season5 和 season3。


最后还有一些关于整个推荐思路的可改进的地方:

1.svd本身就是时间复杂度高的计算过程,如果数据量大的情况恐怕时间消耗无法忍受。不过可以使用梯度下降等机器学习的相关方法来进行近似计算,以减少时间消耗。

2.相似度计算方法的选择,有多种相似度计算方法,每种都有对应优缺点,对针对不同场景使用最适合的相似度计算方法。

3.推荐策略:首先是相似用户可以多个,每个由相似度作为权重来共同影响推荐的item的评分。

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