判断单链表中是否有环，找到环的入口节点

判断单链表中是否有环，找到环的入口节点

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文章梗概

本文通过对现有资料的收集和整理，给出了一种相对简单的严格证明的“判断单链表是否有环，找到环的入口节点”的方法。

题目描述

一个链表中包含环，请找出该链表的环的入口结点（牛客网题目链接），题目中没有说是单链表，从给出的代码中可以看出是单链表而且不可修改链表元素的定义。

思考过程

从两个大的角度思考这个问题

1.记录遇到的每一个链表元素

在一次遍历过程中的，使用一种数据结构（数组、Hash表、基数树）记录遇到的每一个链表元素并判断是否已经遇到过，其中使用基数树可以获得 O(n) 的时间复杂度，但是可会有比较高的空间复杂度。

2.利用链表的性质

• 在题目的讨论页看到了比较有想法的一个答案冬至_的答案，正如其所言时间复杂度为O（n），两个指针，一个在前面，另一个紧邻着这个指针，在后面。两个指针同时向前移动，每移动一次，前面的指针的next指向NULL。也就是说：访问过的节点都断开，最后到达的那个节点一定是尾节点的下一个，也就是循环的第一个。这时候已经是第二次访问循环的第一节点了，第一次访问的时候我们已经让它指向了NULL，所以到这结束。这样做的话过题目是可以了，但是会破坏掉原来的链表，所以并不是一个特别完美的解决办法。如果可以在链表元素中加入一个记录“逻辑断开”的元素，也就是说在遍历的过程中，不真正的断开元素之间的连接，而是使用一个记录值，记录下“逻辑上的断开”。
• 另一个答案页上比较正统的回答为0909的回答，其主要思想和蒙恩的罪人的新浪博客大同小异，优雅简洁，后面主要针对蒙恩的罪人的新浪博客进行讨论。

相关问题的解法与证明

给定一个链表，只给出头指针 h
1.如何判断是否存在环？

使用追赶的方法，设定两个指针 slow、fast ，均从头指针开始，每次分别前进1步、2步。如存在环，则两者相遇；如不存在环， fast 遇到 NULL 退出。其中主要的思想就是“环形相遇追及问题”，理解上应该不复杂。

2.如何知道环的长度？

记录下问题1的相遇点， slow、fast 从该点开始，再次相遇时 slow 所经过的节点数就是环的长度。从环上的任意一点开始， slow、fast 再次相遇时 slow 经过的节点数就是环的长度，因为此时 slow、fast 起始距离为环长，速度差为 1 。选择问题1的相遇点为起始点是为了确保起始点为环上的一点。

3.如何找出环的连接点在哪里？

设问题1中的相遇点为 m1 ，赋值 p=m1 , q=h ，其中 h 为链表头结点，然后 p,q 每次1步向前运动， p,q 再次相遇所在的位置就是环的入口节点(环的连接点)。这里和上面提到的博客中的叙述差别非常大，这也是其有些问题的地方，我在这里更正了其说法，并给出了相对严格的证明。

相对简洁的实现

public class Solution {
   ListNode EntryNodeOfLoop(ListNode h){
        if(h == null || h.next == null)
            return null;
        ListNode slow = h;
        ListNode fast = h;
        while(fast != null && fast.next != null ){
            slow = slow.next;
            fast = fast.next.next;
            if(slow == fast){
                ListNode p=h;
                ListNode q=slow;//相当于让q指向了m1
                while(p != q){
                    p = p.next;
                    q = q.next;
                }
                if(p == q)
                    return q;
                }
        }
        return null;
}

代码及问题三的证明

我们把该链表抽象为这样一个模型，假设环长为 n 。

情景1

此图表示其实状态，其中 h 表示链表头节点, slow,fast ，起始状态指向 h ， t 表示环的入口节点。

情景2

此图表示 slow 运动到了 t ， fast 运动到 m1 ，节点 h 和节点 t 之间的距离为 a ，节点 t 和节点 m1 之间的距离(弧长)为 b ,并设此时 fast 在环上做了 r 次圆周运动(因为 a 和 n 的长度都不固定，多以 fast 可能已经在环上运动了好多圈了)。相对于 slow 其运动的距离为： a 由于 fast 速度是 slow 的二倍，所以其运动的距离(步数)为: 2a
并且，经过观察可知 fast 运动的距离为： a+nr+b ,所以可知公式①：

a=nr+b

情景3.

此时， slow,fast 相遇在节点 m2 ，也就是代码中 10 行判断成立的地方。其中 m2 为相遇点， b 还是为弧长。由于链表的指针是有方向的，我们约定在环上计算距离的时候按照逆时针计算，也就是说，从 t 到 m1 的距离为 b ，从 m1 到 t 的距离为 n−b （其中 n 为环的长度)。
同理在情况2中，从 fast 到 slow 的距离为 n−b ，它们的速度差为 1 ，所以它们再次相遇的时候经过的时间为 n−b1=n−b , slow 经过的距离为 (n−b)×1=n−b ，所以假设相遇点为 m2 ，那么显而 m2 到 t 的距离为 b 。

情景4.

情况4对应着代码中的 11 ~ 19 行。因为通过上面的讨论，如果能让 q 向前运动： b+xn 步，那么 q 的位置恰好是 t ，其中 x∈{0,1,2,3,⋅⋅⋅} 。
值得高兴的是，在情况2中我们有公式①，观察到 a 恰好符合这样一个步数值，所以我们让 p=h ， p,q ，都每次向前移动 1 ，当他们相遇的时候恰好就是环的入点 t ，也就是说 p 从 h 移动到 p，q 再次相遇在这里的作用是提供一个计数。
所以，当 p ， q 再次相遇的时候，他们的相遇点恰好了 t ，也就是需要找的环的入口点。

复杂度

我们关注第一次循环的 slow 和第二次循环的 p ，因为它们都是每次前进一步，由它们移动的步数，可以得到算法的时间复杂度，所以易知时间复杂度为 O(n) ，空间复杂度为 O(1) 。