拉格朗日插值极其拓展

拉格朗日插值

给你 \(n\) 个坐标 \(P(x_i,y_i)\)，求经过这 \(n\) 个点的不超过 \(n-1\) 次的多项式 \(f(x)\) 在 \(k\) 处的点值。

我们构造出 \(n\) 个多项式 \(g_i(x)\)：

\[g_i(x)=y_i\times\sum\limits_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

仔细观察可以发现，\(g_i(x)\) 这个多项式在 \(x_i\) 处点值为 \(y_i\) ，在 \(x_j(j!=i)\) 处的点值全部为 \(0\)。这也正是我们构造它的用意。我们令:

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum\limits_{i=1}^n g_i(x)\\ &=\sum\limits_{i=1}^n y_i\times \sum\limits_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \end{aligned} \]

根据 \(g_i(x)\) 的定义可以发现，\(f(x)\) 正是我们要求的多项式。直接把 \(k\) 往多项式里带就好了，记得预先线性求逆元。时间复杂度：\(O(n^2)\)。

• 例题：

  1. luogu P4781 【模板】拉格朗日插值 题解