高数知识梳理——函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点

函数的连续性

定义：

1. $设函数f(x)在点x=x_0的某\xi 邻域U（x_0,\xi )内有定义$，若当自变量的增量$\Delta x=x-x_0\to 0时$，$函数的增量\Delta y=y-y_0\to 0$,
   $即{\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0,$
   $则称函数f(x)在点x-x_0处连续。$
2. $设函数f(x)在点x=x_0的某\xi 邻域U（x_0,\xi )内有定义$，
   $若li{m}_{x\to x_0}f(x）=f(x_0)$,
   $则称函数f(x)在点x-x_0处连续$

$例1：（讨论分段函数的连续性）$
$讨论函数f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+2}，x<0\\ 0,x=0\\ xarctan\frac{1}{x},x>0\end{array}的连续性$

$例2：(分段函数求参数)$
$设函数f(x)=\{\begin{array}{l}a+e^{\frac{-1}{x}},x>0\\ b+1,x=0\\ \frac{sin3x}{x},x<0\end{array}$在点x=0处连续，求a,b的值 $

反函数连续性定理

$若函数y=f(x）在[a,b]上严格单调递增（或递减）且连续，同时f(a)=\alpha ,且f(b)=\beta$
$则其反函数x=f^{-1}（y)$$在[\alpha ,\beta ](或[\beta ,\alpha ])上严格单调递增（或递减）且连续$.

注：原函数的定义域即为反函数的值域，原函数的值域几位反函数的定义域

复合函数连续性定理

$若复合函数的外层函数连续，则极限可以去到内层。$
$即{\lim }_{x\to 0}f[g(x)]=f({\lim }_{x\to 0}g(x))$
$若内层函数也连续，则满足{\lim }_{x\to 0}f[g(x)]=f({\lim }_{x\to 0}g(x))=f(g(x_0))$

闭区间上连续函数的性质

最大值与最小值定理：

$若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上比取到最大值M和最小值m。$

$例:(闭区间上连续函数有界）$
$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且a\le f(x)\le b$,$证明在[a,b]上至少存在一点\xi \in [a,b],使得f(\xi )=\xi .$

零点存在定理：

$若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)\cdot f(b)<0$
$则存在\xi \in (a,b),使得f(\xi )=0$

$例：(借助保号性判断方程是否存在实根)$
$证明：方程x^3+p{x}^2+q=0至少有一个实根。$

介值定理：

$若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(a)̸=f(b)$
$则对于介于f(a)与f(b)之间的任意常数C，存在\xi \in (a,b),使得f(\xi )=c$

$例：(作图构造函数)$
$设f(x）\in C_{[0,1]},且f(0)=f(1)$,$证明：\xi \in [0,\frac{2}{3}]$,$使得f(\xi +\frac{1}{3})=f(\xi )$.

函数的间断点

间断点的类型

1. 第一类间断点：$$\{\begin{array}{l}可去间断点：li{m}_{x\to x_0^{-}}f(x)=li{m}_{x\to x_0^{+}}f(x)\\ 跳跃间断点：li{m}_{x\to x_0^{-}}f(x)̸=li{m}_{x\to x_0^{+}}f(x)\end{array}$$
2. 第二类间断点：
   $若函数f(x)在x=x_0点处的单侧极限$$li{m}_{x\to x_0^{-}}f(x)与li{m}_{x\to x_0^{+}}f(x)至少有一个不存在，$
   $则称点x=x_0为函数f(x)的第二类间断点。$

$例：(求间断点并判断其类型)$
$$求函数f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1},x̸=0\\ 1,x=0\end{array}的间断点并判断其类型。$$

【不妨顺便回忆其他与分段函数有关的题型】

1. 分段函数求参数 （利用分段点构造等式）
2. 分段函数求导（注意分段点处的导数一定按照定义法求解）
3. 分段函数的复合