树状数组：单点修改，区间查询（详解）

问题的提出 ：
给定一个序列 a，可以进行两种操作：

• 1 i x ：给定 i , x, 将 a[i] 加上 x;
• 2 l r ：给定 l ， r， 求 a[l] + a[l + 1] + ··· + a[r + 1] 的值

（单点修改，区间查询）

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首先，我们会想到直接用一个现行的数组。那么单点修改的时间复杂度将是 $O(1)$，但是区间查询的时间复杂度却是 $O(n)$， 数据范围一大，就很有可能会超时。
那么，又有人会想到用一个前缀和数组，但是有没有想过，虽然区间查询的时间复杂度变成了 $O(1)$，但单点修改就又变成了 $O(n)$，因为我们在修改单点的时候还要维护这个前缀和数组。

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所以，为了优化时间复杂度，我们就需要引入一个概念：
树状数组： （下面来自百度）
树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。
这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。
上面就是一棵树。可能有同学就要问了：这张图有用吗？
非常有用！
每一个数子的子叶有多少个呢?这么看是看不出来的。其实每一个数的个数等于这个数化为二进制之后，从低位起往前查找，当找到第一个 1 的时候，就把 1 和后面的 0 截出来，化成 10 进制，这个十进制的数就是他子叶的个数（包括他自己）。下面是示例：

• 如上图的 8 ，化成二进制就是 1000， 那么就是把 1000 化为十进制，也就是 8 有 8 个子叶
• 又如上图的 6，化成二进制就是 110，那么就是把 10 化为十进制，也就是 6 有 3 个子叶

但是像上面的操作就很复杂，也会消耗大量的时间，所以我们又可以得到两个公式：
x - (x & (x - 1)) 或者 x & (-x) ; 这两个最为常用。

1. x - (x & (x - 1)) : 我们举个栗子吧。比如 20 ，它化成 2 进制之后，就是 10010，那么它减一就是 ：10001 再把他们两个与起来，就是 10000， 再用原数来减，就刚好是 10 ，返回时就会自动转换成 10 进制了。
2. 可以在草稿纸上尝试自行证明~
   然后我们又可以看到，其实 C[8] = c[4] + c[6] + c[5] + c[8]; 那四个数加起来其实就是c[1~8]的和。
   我们就可以写出一个循环：

void Update(int x, long long num_) {//第一个是下标，第二个是值
    for (int i = x; i <= n; i += Lowbit(i)) {//从这个位置开始，不超出数组的范围，每一次加上他的上一个（草稿纸证明）
        bit[i] += num_;//bit就是树状数组的缩写。其实就是一直往他的父亲查找，每一个父亲都加上他(建树）
    }
}

关于区间查询，我们很容易就可以想到前缀和。所以a[l~r] = sum® - sum(l - 1)。下面是前缀和的代码：

long long Sum(int x) {
	long long sum_ = 0;//累加
	for (int i = x; i >= 1; i -= Lowbit_Set(i)) {//从这个点往他的儿子进行查找
		sum_ += bit[i];
	}
	return sum_;
}

所以上面那道题我们就可以轻松地解决了。下面是代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MAXN = 1e6 + 5;
long long bit[MAXN];
int a[MAXN];
int n, m;

int Lowbit_Set(int x) {
	return x & (-x);
}//查找子叶个数

void Update_Set(int x, int num) {
	for (int i = x; i <= n; i += Lowbit_Set(i)) {
		bit[i] += num;
	}
}//如上
long long Sum_Set(int x) {
	long long sum_ = 0;
	for (int i = x; i >= 1; i -= Lowbit_Set(i)) {
		sum_ += bit[i];
	}
	return sum_;
}//如上

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) { 
		scanf("%d", &a[i]);
		Update_Set(i, a[i]);//传参
	} 
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y, z;
		scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
		if (x == 1) {
			Update_Set(y, z);
		}
		if (x == 2) {
			while(1) {}//下次记得不要抄代码哦！
			long long sum1_ = Sum_Set(y - 1);
			long long sum2_ = Sum_Set(z);
			printf("%lld\n", sum2_ - sum1_);//前缀和公式
		}
	}/*
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		printf("%lld ", bit[i]);
	} */
	//检查是否写对
	return 0;
}