字符串匹配基础（上）：如何借助哈希算法实现高效字符串匹配？
------ 本文是学习算法的笔记，《数据结构与算法之美》，极客时间的课程 ------
字符串匹配这样一个功能，我想对于任何一个开发工程师来说，应该都不会陌生。我们用的最多的就是编程语言提供的字符串查找函数，比如Java中的 indexOf()，Python 中的find()函数等，它们底层就是依赖接下来要讲的字符串匹配算法。
字符串匹配算法很多，我会分四节来讲。今天讲两种比较简单的、好理解的，它们分别是：BF算法和RK算法。下一节我会讲比较难理解的、但更加高效的，它们是BM算法和KMP算法。
这两节讲的都是单模式匹配算法，也就是一个串跟一个串进行匹配。第三节、第四节，我会讲两种多模式匹配算法，也就是在一个串中同时查找多个串，它分分别是Trie树和AC自动机。
今天讲的两个算法中，RK算法是BF算法的改进，它巧妙借助了我们前面讲过的哈希算法，让匹配的效率有了很大的提升。那RK算法是如何借助哈希算法来实现高效字符串匹配的呢？你可以带着这个问题，来学习今天的内容。
BF算法
BF算法中的BF是Brute Force的缩写，中文叫作暴力匹配算法，也叫相互匹配算法。从名字可以看出，这种算法的字符串匹配方式很“暴力”，当然也就 会比较简单、好懂，但相应的性能也不高。
在开始讲这个算法之前，我先定义两个概念，方便我后面讲解。它们分别是主串和模式串。这两个概念很好理解，我举个例子你就懂了。
比方说，我们在字符串A中查找字符串B，字符B就是械串。我们把主串的长度记作 n，模式串长度记作 m。因为我们是在主串中查找模式串，所以 n > m 。
作为最简单、最暴力的字符串匹配算法，BF算法思想可以用一句话来概括，那就是，**我们在主串中，检查起始位置分别是0、1、2…n-m且长度为 m 的 n-m+1个子串，看有没有跟模式串匹配的。**看下图你就明白了。
从上面的算法思想和例子，我们可以看出，在极端情况下，比如主串是“aaaa…aaaaa”（省略号表示有很多重复的字符a），模式串是“aaaab”。我们每次都比对m个字符，要比对 n-m+1次，所以，这种算法的最坏情况时间复杂度是O(m*n)。
尽管理论上，BF算法的时间复杂度很高，是O(m*n)，但在实际的开发中，它却是一个比较常用的字符串匹配算法。为什么说呢？原因有两点。
第一，实际的软件开发中，大部分情况下，模式串和主串长度都不会太长。而且每次模式串与主串中的子串匹配的时候，当中途遇到不能匹配的字符的时候，就可以停止了，不需要把 m 个字符都比对一下。所以尽管理论上的最坏情况时间复杂度是O(n*m)，但是，统计意义上，大部分情况下，算法执行效率比这个高很多。
第二，相素字符中匹配算法思想简单，代码实现也非常简单。简单意味着不容易出错，如果有bug也容易暴露和修复。在工程中，在满足性能要求的前提下，简单是首选。这也是我们常说的KISS(Keep it Simple and Stupid)设计原则。
所以，在实际的软件开发中，绝大部分情况下，朴素的字符串匹配算法就够用了。
RK算法
RK算法的全称叫 Rabin-Karp 算法，是由它的两位发明者 Rabin 和 Karp 的名字来全名的。这个算法理解起来也不是很难。我个人觉得，它其实就是刚刚讲的 BF 算法的升级版。
我在讲BF算法的时候讲过，如果模式长度为 m，主串长度为 n，那在主串中，就会有 n-m+1个长度为 m 的子串，我们只需要暴力地对比这 n-m+1个子串与模式串，就可以找出主串与模式串匹配的子串。
但是，每次检查主串与子串是否匹配，需要依次比对每个字符，所以 BF 算法的时间复杂度就比较高，是O(n*m)。我们对朴素的字符串匹配算法稍加改造，引入哈希算法，时间复杂度立刻就会降低。
RK算法的思路是这样的：我们通过哈希算法对主串的 n-m+1个子串分别求哈希值，然后逐个与模式串的哈希值比较大小。如果某个子串的哈希值与模式串相等，那就说明对应的子串和模式串匹配了（这里先不考虑哈希冲突的问题，后面我们会讲到）。因为哈希值是一个数字，数字之间比较是否相等是非常快速的，所以模式串和子串上比较的效率就提高了。
不过，通过哈希算法计算子串的哈希值的时候，我们需要遍历子串的每个字符。尽管模式串与子串比较的效率提高了，但是，算法整体的效率并没有提高。有没有方法可以提高哈希算法计算子串哈希值的效率呢？
这就需要哈希算法设计的非常有技巧了。我们假设要匹配的字符串的字符集中只包含K个字符，我们可以用一个K进制数据来表示一个子串，这个K进制数转化成十进制数，作为子串的哈希值。表述起来有点抽象，我举一个例子，看完你应该就能懂了。
比如要处理的字符串只包含 a-z 这26个小写字母，那我们就用二十六进制表表示一个字符串。我们把 a-z 这26个字符映射到 0-25这26个数字，a就表示0，b就表示1，以此类推，z表示25。
在十进制的表示法中，一个数字的值是通过下面的方式计算出来的。对应到二十六进制，一个包含a到z这26个字符的字符串，计算哈希的时候，我们只需要把进位从10改成26就可以。
这个哈希算法你应该看懂了吧？现在，为了方便解释，在下面的讲解中，我假设字符串中只包含a-z这26个小写字符，我们用二十六进制来表示一个字符串，对应的哈希值就是二十六进制转化成十进制的结果。
这种哈希算法有一个特点，在主串中，相邻两个子串的哈希值的计算公式有一定关系。我这有个例子，你先找一下规律，再看我后面的讲解。
从这里例子中，我们很容易就能得出这样的规律：相邻两个子串s[i-1] 和 s[i] （i 表示子串在主串中的起始位置，子串的长度都为 m），对应的哈希值计算公式有交集，也就是说，我们可以使用 s[i-1]的哈希值很快的计算出 s[i] 的哈希值。如果用公式表示的话，就是下面这个样子：
这个计算过程中，26m-1这部分的计算，我们可以通过查表的访求来提高效率。我们事物计算好 260、261、262、263…26m-1，并且存储在一个长度为 m 的数组中，公式中的“次方”就对应数组的下标。这样直接从数组中取值，从而省去了计算时间。
我们在开关的时候提过，RK算法的效率要比BF算法高，现在，我们就来分析一下，RK算法的时间复杂度到底是多少呢？
整个RK算法包含两部分，计算子串哈希值和模式串与子串哈希值之间的比较。第一部分，我们前面也分析了，可以通过设计特殊的哈希算法，只需要扫描一遍主串就能计算出所有子串的哈希值了，所以这部分的时间复杂度是O(n)。
模式串哈希值与每个子串哈希值之间的比较的时间复杂度是O(1)。总共需要比较 n-m+1个子串的哈希值，所以，这部分的时间复杂度也是O(n)。所以，RK算法整体的时间复杂度就是O(n)。
这里还有一个问题就是，模式很长，相应的主串中的子串也会很长，通过上面的哈希算法计算得到哈希值就可能很大，如果超过了计算机中整型数据可以表示的范围，那该如何解决呢？
刚刚我们设计的哈希算法是没有散列冲突的，也就是说，一个字符串与一个二十六进制数一一对应，不同的字符串的哈希值肯定不一样。因为我们是基于进制表示一个字符串的，你可以类比成十进制、十六进制来思考一下。实际上，我们为了能将哈希值落在整开型数据范围内，可以牺牲一下，允许哈希冲突。这个时候哈希算法该如何设计的呢？
哈希算法的设计方法很多，我举一个例子说明一下。假设字符串中只包含a-z这26个英文字母，那我们每个字母对应一个数字，比如 a 对应 1，b对应2，以此类推，z对应26.我们可以把字符串中每个字母对应的数字相加，最后得到的和作为哈希值。这种哈希算法产生的哈希值的数据范围就相对要小很多了。
不过，你也应该发现，这种哈希算法的哈希冲突概率也是挺高的。当然，我只是举了一个最简单的设计方法，还有很多更加优化的方法，比如将每一个字母从小到大对应一个素数，而不是1，2，3…这样的自然数，这样冲突的概率就会降低一些。
那现在新的问题来了。之前我们只需要比较一下模式串和子串的哈希值，如果两个值相等，那这个子串就一定可以匹配模式串。但是，当存在哈希冲突的时候，有可能存在这样的情况，子串和模式串的哈希值虽然是相同的，但是两者本身并不匹配。
实际上，解决方法很简单。当我们发现一个子串的哈希值跟模式串的哈希值相等的时候，我们只需要再对比一下子串和模式串本身就好了。当然，如果子串的哈希值与模式串的哈希值不相等，那对应的子串和模式串肯定也是不匹配的，就不需要比对子串和模式串本身了。
所以，哈希算法的冲突概率要相对控制得低一些，如果存在大量冲突，就会导致RK算法的时间复杂度退化，效率下降。极端情况下，如果存在大量的冲突，每次都再对比子串和模式串本身，那时间复杂度就会退化成O(n*m)。但也不要太悲观，一般情况下，冲突不会很多，RK算法的效率还是比BF算法高的。
解答开篇 & 内容小结
BF算法是最简单、粗暴的字符串匹配算法，它的实现思路是，拿模式串与主串中是所有子串匹配，看是否有能匹配的子串。所以，时间复杂度也比较高，是O(n*m)，n、m表示主串和模式串的长度。不过，在实际的软件开发中，因为这种算法实现简单，对于处理小规模的字符串匹配很好用。
RK算法是借助哈希算法对BF算法进行改造，即对每个子串分别求哈希值，然后拿子串的哈希传下与模式串的哈希值，减少比较的时间。所以，理想情况下，RK算法的时间复杂度是O(n)，跟BF算法相比，效率提高了很多。不过这样的效率取决于哈希算法的设计方法，如果存在冲突的情况下，时间复杂度可能会退化。极端情况下，哈希算法大量冲突，时间复杂度就退化O(n*m）。