【代码超详解】洛谷 P2820 局域网（Kruskal 算法求最小生成树 · 并查集）

一、题目描述

题目背景

某个局域网内有n(n<=100)台计算机，由于搭建局域网时工作人员的疏忽，现在局域网内的连接形成了回路，我们知道如果局域网形成回路那么数据将不停的在回路内传输，造成网络卡的现象。因为连接计算机的网线本身不同，所以有一些连线不是很畅通，我们用f(i,j)表示i,j之间连接的畅通程度，f(i,j)值越小表示i,j之间连接越通畅，f(i,j)为0表示i,j之间无网线连接。

题目描述

需要解决回路问题，我们将除去一些连线，使得网络中没有回路，并且被除去网线的Σf(i,j)最大，请求出这个最大值。

输入格式

第一行两个正整数n k

接下来的k行每行三个正整数i j m表示i,j两台计算机之间有网线联通，通畅程度为m。

输出格式

一个正整数，Σf(i,j)的最大值

输入输出样例

输入 #1

5 5
1 2 8
1 3 1
1 5 3
2 4 5
3 4 2

输出 #1
8

说明/提示

f(i,j)<=1000

二、算法分析说明与代码编写指导

Kruskal算法
1、用途：求图的最小生成树。
2、算法内容：
设图G(V, E)。可以仅用边数组存图。然后将边从小到大排序，选择最小的边添加到生成树中，直到所有顶点都进入生成树。
用并查集判定顶点是否连通。所有连通的顶点在压缩路径处理后具有相同的根。
证明：/
Kruskal算法中，排序的时间复杂度为O(|V| log |V|)。而路径压缩的并查集的时间复杂度为O(α(n))。其中n是查找次数，
α(n)是单变量反阿克曼（Ackermann）函数，增速随着自变量的增长而迅速减慢。所以，Kruskal算法是时间复杂度应取O(|V| log |V|)。
对稠密图而言，Prim算法更优；对稀疏图而言，Kruskal算法更优。

并查集
并查集将每个元素视为一个集合，然后按需合并，支持查询父节点和根节点，一般只要求找根。每个并查集有一个代表元素，
查询任意两个元素是否属于一个集合可以通过比较其根（代表元素）是否相同来实现。合并两个并查集只需要将一个集合的根指向另一个的根。
通常将同样具有某种性质的一类元素合并到一个集合中。
通常并查集的每个元素（顶点）从0或1开始依次编号，用root数组记录每个元素的根。开始时，先初始化root[v] = v。
然后，在查找的过程中可以同时实现压缩路径，加快找根速率。
以下是找根的递归实现和非递归实现的示例：
unsigned FindRoot(const unsigned& v) {
	if (root[v] == v)return v;
	return root[v] = FindRoot(root[v]);
}
inline unsigned FindRoot(const unsigned& v) {
	unsigned r = v, t = v, u;
	if (t == root[v])return v;
	while (r != root[r])r = root[r];
	while (t != r)u = root[t], root[t] = r, t = u;
	return r;
}
对未经路径压缩的并查集，查找的时间复杂度为O(D)，D为深度。而对路径压缩的并查集，查找的时间复杂度为O(α(n))。
其中n是查找次数，α(n)是单变量反阿克曼（Ackermann）函数，表达式为：

阿克曼函数A(m, n)是一种随着自变量的增长而增速爆炸性上升的函数，其反函数的增速自然是随着自变量增长而迅速减慢。
阿克曼函数的表达式是：

三、AC 代码

这里将递归和非递归版本的并查集找根函数都写出。

#include
#include
#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;
struct edge { unsigned u, v, w; };
inline bool cmp(const edge& lhs, const edge& rhs) { return lhs.w < rhs.w; }
unsigned ans, n, n0, k, sum, cnt, root[101], ra, rb; edge e[10001];
//unsigned FindRoot(const unsigned& v) {
//	if (root[v] == v)return v;
//	return root[v] = FindRoot(root[v]);
//}
inline unsigned FindRoot(const unsigned& v) {
	unsigned r = v, t = v, u;
	if (t == root[v])return v;
	while (r != root[r])r = root[r];
	while (t != r)u = root[t], root[t] = r, t = u;
	return r;
}
int main() {
	scanf("%u%u", &n, &k); n0 = n - 1;
	for (unsigned i = 0; i < k; ++i)scanf("%u%u%u", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w), sum += e[i].w;
	sort(e, e + k, cmp);
	for (unsigned i = 1; i <= n; ++i)root[i] = i;
	for (unsigned i = 0; i < k; ++i) {
		ra = FindRoot(e[i].u); rb = FindRoot(e[i].v);
		if (ra == rb)continue;
		ans += e[i].w; root[rb] = ra; ++cnt;
		if (cnt == n0) break;
	}
	printf("%u\n", sum - ans);
	//system("pause");
	return 0;
}