进阶训练-基本数据结构

单调栈，单调队列，双端队列，邻接表，Hash，字符串，trie

单调栈

• 借助单调性处理问题的思想在于及时排除不可能的选项，保证策略集合的高度有效性和秩序性，从而为我们做出的决策提供更多的条件和可能方法。例题：直方图的最大矩形面积

单调队列

• 同单调栈一样，也是在决策集合中及时排除一定不是最优解的选择，是优化动态规划的一个重要手段。例题：最大子序列和

双端队列

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#include front/back------队头/队尾元素，O(1) push_back(x)----从队尾入队，O(1) push_front(x)---从队头入队，O(1) pop_front()-----从队头出队，O(1) pop_back()------从队尾出队，O(1) clear()---------清空队列，O(n)

邻接表

• 这里的邻接表实现类似于链式前向星

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  int head[N],Next[N]; bool add(int i){ int num=Hash(i); if(head[num]==0) { head[num]=i; return 0; } for(int j=head[num];j;j=Next[j]){ if(check(i,j)) return 1; if(Next[j]==0) { Next[j]=i; break; } } return 0; }

Hash

• Hash表：以哈希值为索引的邻接表

• 字符串Hash：
  • 用一个固定值P，把字符串看作P进制数，并分配一个大于0的数值，代表每种字符。取一固定值M，求出该P进制数对M的余数，作为该字符的哈希值。
  • 一般来说，取P=131或P=13331,此时Hash值冲突概率极低，令M=2e64，即直接用unsigned long long存储这个哈希值，在计算时不需要处理算术溢出问题，溢出相当于对M取模。这样可以避免抵消的mod运算。
  • 如果我们已知字符串S的Hash值为H(S)，那么在S后添加一个字符c构成的新字符串S+c的Hash值就是H(S+c)=(H(S)*P+value[c]) mod M。其中乘P相当于P进制下的左移运算。
  • 如果已知S的Hash值为H(S)，S+T的Hash值是H(S+T)，那么字符串T的Hash值H(T)=(H(S+T)-H(S)*P^length(T)) mod M。相当于通过P进制下在S后补0的方式，把S左移到与S+T左端对其，然后二者相减就得到了H(T)
  • 例题：兔子与兔子
• 二维矩阵哈希：
  • 例题：矩阵
  • 求出整个矩阵中所有axb大小的矩阵的哈希值，然后O（1）询问
  • 先对每一行单独求出前缀字符串哈希值.
  • 假如num为当前(j-1)b的矩阵的哈希值，那么在这个矩阵里面再加入第j行后的矩阵的哈希值为num=num*q^b+hash[j](l~r);
  • 如果加入这一行后矩阵高度大于了a，就需要使其变为减掉当前第一行后的哈希值，num-=hash[f[j-a]](l~r)*q[a*b],即减去将当前第一行的哈希值左移a*b位.
  • unordered_set（哈希set）可在平均O(1)的时间下完成查询。

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    #pragma GCC optimize(3) #include #include #define INIT(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define ll long long #define ull unsigned long long #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) #define repd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i) #define S(d) scanf("%d",&d) #define SLL(d) scanf("%lld",&d) #define P(d) printf("%d\n",d) #define PLL(d) printf("%lld\n",d) using namespace std; const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e3+7; const int M=2e6+7; const int mod=1e9+7; const int p=131; ull f[N][N],q[N*N+10]; char s[N]; ull get(ull h[],int l,int r){ return h[r]-h[l-1]*q[r-l+1]; } int main(){ int m,n,a,b; q[0]=1; rep(i,1,N*N) q[i]=q[i-1]*p; scanf("%d%d%d%d",&m,&n,&a,&b); rep(i,1,m){ scanf("%s",s+1); rep(j,1,n) f[i][j]=f[i][j-1]*p+s[j]-'0'; } unordered_set S; rep(i,b,n){ ull num=0; int l=i-b+1,r=i; rep(j,1,m){ num=num*q[b]+get(f[j],l,r); if(j>a) num-=get(f[j-a],l,r)*q[a*b]; if(j>=a) S.insert(num); } } int q;S(q); while(q--){ ull num=0; rep(i,1,a){ scanf("%s",s+1); rep(j,1,b) num=num*p+s[j]-'0'; } if(S.count(num)) puts("1"); else puts("0"); } return 0; }

字符串

• KMP：next[i]=max{j},j < i且A[i-j+1~i]=A[1~j]。特别的，没有这样的j存在时，next[i]=0;

• 循环节/循环元
  • 根据定义，S[i-next[i]+1~i]与S[1~next[i]]是相同的，并且不存在更大的next值满足这个条件。通过这一点我们可以得知，i-next[i]为前i个字符的循环节，当i%(i-next[i])==0时，它就是一个完美匹配的循环节，即循环元。如：abcab—abc是整个字符串的循环节，ababab—ab是整个字符串的循环元。
  • 进一步的，如果i-next[next[i]]能整除i，那么S[1~next[next[i]]]就是S[1~i]的次小循环元，依次类推，我们可以找到S[1~i]所有可能的循环元。
• 最小表示法：一个字符串S[1~n]，如果不断把最后一个字符放到开头，最终会得到n个字符串，称这n个字符串循环同构，其中字典序最小的一个，称为字符串S的最小表示法。

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  int n=strlen(s+1); for(int i=1;i<=n;i++) s[n+1]=s[i]; int i=1,j=2,k; while(i<=n && j<=n){ for(k=0;k if(k==n)break; if(s[i+k]>s[j+k]){ i=i+k+1; if(i==j) j++; }else{ j=j+k+1; if(i==j) j++; } } ans=min(i,j);

Trie

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//N至少为 字符种类数*字符串长度 int trie[N][27],ed[N],tot=1; char s[N]; void Insert(char *str){ int len=strlen(str),p=1; for(int i=0;i int ch=str[i]-'a'; if(trie[p][ch]==0) trie[p][ch]=++tot; p=trie[p][ch]; } ed[p]++; } int query(char *str){ int len=strlen(str),p=1,ans=0; for(int i=0;i p=trie[p][str[i]-'a']; if(p==0) return ans; ans+=ed[p]; } return ans; }

• 例题：前缀统计,最大异或对,最大异或值路径