图论入门及基础概念（图篇）

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图篇

这是第一次写博客，为了下载积分而来。
随便写些，各位大佬们多多指。

本次内容是关于图论的引入的，内容如下：

• 矩阵引入
• 什么是图？其如何表示？
• 图论起源之七桥问题
• 图论引入
• 图论相关基本概念
• 图论的表示引入
• 图的表示法

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• 矩阵引入

线性代数学的好的可以直接跳过，
当然，看不懂的也可以直接跳过，这部分引入只是计为了后面计算上方便，

矩阵可以用在生活的方方面面，出现在各个学科中，
例如，我们如何用矩阵（向量）来描述化学反应方程式：

首先，用向量描述一个物体必须先划分维度。

由于原子守恒原理我们知道氧原子和氢原子相互独立，互不相关。
所以我们假设两个维度空间为氧空间和氢空间
并且这两个空间相互垂直（即线性无关）

基于空间运算的封闭性，我们得出该方程式存在的完备空间S为：

由于向量空间运算的封闭性，我们有：

我们分别将氧气和氢气表示为该空间下的向量点：

于是化学方程式配平便变成了向量之间的运算：

由于氧气和氢气是该完备空间的基，即单质。
容易运算出答案：

图及其表示

• 什么是 图

  要说什么是图，这个有点不太好说，概念的东西太抽象，我还是直接说图的表示吧，知道图的表示形式，自然也就知道什么是图了。

·图的表示一般是分为两块的：

（1）某类具体事物
（2）这些事物之间的联系

·而在图论中，只存在两种形态：

①节点
②边

这两种形态通常这样对应：

由于这种对应关系，我们通常把这种关系转化为矩阵描述，在前言中我们提到了一个例子：

在这里，具体事物即：

抽象事物（事物间的联系）即其中的数量关系。

于是我们将化学方程改为如下矩阵式：

我们可以看到，矩阵分为两块：

PS: 所以说，用矩阵描述问题能使描述过程更加清晰化，建议采用。

图论起源之七桥问题

七桥问题很经典，我们都知道大数学家欧拉将其转为一笔画的问题，并顺利解决，由此开创了图论的先河。

用下图举个例子：

若将其看做画线问题：

对于任意非起始点，我们要一笔通过他只有如下两种可能：

(1)两条路线：

有进必有出，必然是能够一笔完成的

(2)四条路线：

由于通过外界一圈以后又回来所以对于这种偶数条线路，
可以等效为如下形式：

即将该节点视为另外一个圈起始点，其中的闭圈必然能够由一笔画完成，由于该圈可以独立出去，我们将该圈等效为不存在，便将偶数边节点等效为如下一进一出的两条边节点:

三条路线：

三条线路相对复杂，但它的进出也只有如下两种可能形式：

同样，我们运用等效原理将其等效为如下形式：

我们将其中的闭圈化简去掉，即等效为：

所以，该节点必然是一笔画的起点（右图形式）或者终点（左图形式）

所以，我们得出了如下的基本结论：

①拥有偶数边的节点
可以等效为只有一进一出两条边的点。
即该点等效为过程点。
②拥有奇数边的节点
可以等效为要么进，要么出的单边的节点。
即该点等效为起始点。

唧唧歪歪了这么多，我们还是回到七桥问题吧:

那么问题来了：

问：该图能否由一笔画完成，并说明理由。

首先我给出答案不能，理由是：

A、C、D、B节点均为奇数边
故等效为4个起始点，而一个一笔画的图最多只能有两个起始点。

PS:若要求一笔画的终点和起点重合，则图节点中必然全为偶数边，这就是十分显然的了。

图论引入

图论，顾名思义，必然是关于图的理论咯
由于图的表示分为两块：

①节点
②边

我们不妨假设对于图 ：

①节点集 记为:
，
② 边集 记为:

那么问题来了：

我们该如何去表示其中的某个节点或边呢？
PS：马克思说：“人的本质不是单个人所固有的抽象物，在其现实性上，它是一切社会关系的总和。”（《马克思恩格斯选集》第2版第1卷第60页）

附即兴打油词一首：
《如果说》—妖米
如果说人类是一个集合，那么某个人便由他的社会关系总和来定义。
如果说节点集是一个集合，那么某个节点便由他的边的总和来定义。
如果说边集是一个集合，那么某条边便由他连接的点的总和来定义。
2018-9-4 —— 23：12

图的表示:

对于任意某条边，以边e1为例：

由于任意边节点只有两个，我们不妨记为

对于任意某个节点，分别以v3，v4为例：

对于v3，我们记为：

对于v4，我们记为：

但是，这么记虽然没错，但是我们想能不能用一种统一的格式去表示，将其任意点化为统一的标准格式
于是，我们灵光一闪想了一个办法 ：

还记得前面提到的原子守恒那边的完备空间吧

事实上，由于我们约定俗成，比如说第一行就表示v1，第二行就表示v2，所以我们完全可以将如上形式化为如下：

即以逻辑值来代表是否存在连接。

事实上，由于标准化的约定，我们可以将如上形式整理成表格：

节点 \ 边->	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
V1	1	0	0	1	0	0	1
V2	1	1	1	0	0	0	0
V3	0	1	1	1	1	1	0
V4	0	0	0	0	1	1	1

边的表示和读取：

点的表示和读取：

由于如上表格中，既有包含所有点的表示，由包含所有边的表示，所以那个表格便是一个图。

通常我们不写表格，主要原因麻烦，我们通常直接写为矩阵：

图论的基本概念

• 1、有向图

  顾名思义，就是有方向的图呗。
  

• 2、无向图

  就是没有有方向的图呗，也可以叫双向图。像前面的例子，七桥问题都是无向图。
  

• 3、有限图

  就是节点和边都有限的图呗。

• 4、简单图

  就是没有环和多重边的图，
  因为环独立且封闭，可产生自由变量，导致问题变复杂。多重边可分解为 边+环。
  反例：
  

• 5、完全图

  就是任意两个点都有一条边相连的图。
  
  P s：有一种结构叫拓扑

• 6、二分图
  

  可以把顶点集分成两组，并且同组顶点不相邻的图。如：
  

• 7、子图与母图

  如果原图叫母图，那么从其中抠一份下来，那就叫它的子图。
  

• 8、顶点v的度：

  就是顶点的边数（环算两条边）。
  
  
  

由于每条边都连接两个顶点,所以一个图的顶点度之和必然是边的两倍。

即：
任意图必然可由N个1笔画完成，而每一笔在图中产生的奇顶点数要么2个，要么0个，所以任意图的奇顶点数必然是偶数个，这是很显然的。

9、 途径
两个顶点之间的通路我们称为途径。

若是途径中没有重复的顶点，我们称为路。

如果没有重复的边，我们称为迹。

10、边与弧

为了区分边是否有方向，通常
有方向的叫弧，没方向的叫边。

图的表示引入

前面我们以七桥问题（无向图）讲了图的表示：

\	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
V1	1	0	0	1	0	0	1
V2	1	1	1	0	0	0	0
V3	0	1	1	1	1	1	0
V4	0	0	0	0	1	1	1

那么问题来了，用这种方式表示有向图该怎么表示？

对于一个图，有两个要素：

1、具体要素

2、具体要素间的联系

由于具体要素（顶点集）肯定没法变：

①节点集 记为:

②弧集 记为:

我们尝试另外一种表示：

我们不再用连接的边来定义节点，而用邻接节点来定义节点。如：

以下图为例：

（可达的通路）的记为1。

额。。。。 V3 = 。。。

我们还是以下图为例吧:

刚才你们什么都没看见：

其中（可达的通路）的记为1。

于是我们整理成矩阵表格：

\	V1	Ｖ2	Ｖ３	Ｖ４
V1	０	１	１	０
V2	０	０	１	0
V3	０	０	０	１
V４	１	０	０	0

我们做如下约定：

于是，该矩阵定义了顶点之间的联系。
即表示出了弧集。

我们发现，这种矩阵定义的方式，既可以表示有向图，又可以表示无向图，而且貌似还比原来的表示方法更节省空间。

但是这种方法的缺点很明显就是，当出现多重边时无法表示，反正你们刚才什么都没看到就对了。

图的表示法

• 这种用邻接节点定义其他节点的方法:

  我们不妨叫做邻接矩阵法：
  

• 而那种用边将两个顶点关联起来的方法，

  我们不妨叫关联矩阵法：
  
  事实上，我们用关联矩阵也可以表示有向图，只要约定入节点为-1，出节点为1即可。

• 当然，还有其他方法可以表示图，在计算机中，只要方便于运算的表示方法都可以。

如，直接用弧集来表示图：

即用二维数组的方法表示。
这种用弧集表来表示图的方法，
我们不妨叫弧表表示法

当然，还可以整理成有序的：

对了，忘了讲一件事，
通常我们增加一行，用来放弧的权重。对于邻接矩阵和关联矩阵，直接把例中的１改成相应权重即可。

• 还有一种方法，就是用程序把图画出来。
  

  熟悉C语言的童鞋可能知道 指针和结构体。
  如果接触过数据结构可能知道 链表。
  如：
  struct point
  {
  point * P;
  int Data;
  };
  然后将数据挂在链表上。
  
  这种方法提一下，懂的自然懂。
  不懂也没关系，反正我也不多讲了。

结语

• 本次介绍了图论相关基本概念以及相关表
• 感谢您的耐心阅读
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