自适应滤波器遇到的一个问题

最近写自适应滤波器方面的程序的时候，遇到了一个问题，滤波器没有收敛到我想象之中的那个解，疑惑了一阵，后来发现一些问题，也许别人也会遇到，于是记录下来分享一下，少走弯路。

事情是这样，基于最基本的方法：LMS算法。确定一个输入信号，比如：

u(n)=sin(ω0n)

我设置的期望信号是：

desire(n)=cos(ω0n)

我们知道这两个信号之间只差一个相差，其他都是一样的，于是用这个期望的样本来训练FIR滤波器的话，一般人们的直接想法是会得到的滤波器的冲激响应为：

h(n)=δ(n−n0)

其中 n0 是这两个信号的时延，结果非常自然以及直接，我们直接认为我们会得到这样的冲激响应真的不是很奇怪的事情。

可惜这样并不对，在这种情况下不对。

这事我得仿真结果：

上图是仿真的波形图，第一栏是输入的信号，第二栏的蓝色信号是期望信号，可以看出他们相差一定的时延，第三栏的红线是滤波输出。可以看出数次迭代之后，滤波器应该是被训练成了一个延时器。

上图就是这个所谓滤波器的冲激响应了，当时结果出来的时候，我有点错愕，因为这不是我想要的结果，而且实验显示，我也是成功了的，我应该会得到一个类似 δ(n−n0) 的冲激响应才对。

上图是我调快频率之后的结果，这个冲激响应原来是个正弦的序列。再次有点错愕。后来我明白了，原来这是这个情况下比较特别的结果，虽然不是 δ 形式，但这个滤波器依然是可以正常工作的，这个正弦序列跟期望响应，跟输入信号是同频率的。联想一下迭代公式，就知道原因了，这个响应可以用笔算一下，的确是正确的解。

LMS算法的迭代公式： w→(n+1)=w→(n)+μe(n)u→

端倪算是出来了，我们这个解，不可能是正弦形式以外的解！！！！是不可能！！！！迭代来迭代去， u→ 一直是正弦，同频率的正弦加来加去，迭代几万次都是正弦的冲激响应。巧的是，这个解是对的。

于是我换了信号：


换成了随机信号，期望是延时了若干个单位，这样结果就是我想象的那样了！不过说实在的，也不可能有其他的解了。

当然FIR并不适宜处理所有情况，毕竟让他变频是不可能的，毕竟只是FIR。

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