旅行商问题和背包问题

经典问题

u 什么是旅行商问题

  旅行商问题(Traveling Saleman ProblemTSP)又译为旅行推销员问题、货郎担问题,简称为TSP问题,是最基本的路线问题,该问题是在寻求单一旅行者由起点出发,通过所有给定的需求点之后,最后再回到原点的最小路径成本。最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig1959)等人提出。

TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司,欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。如何确定最短路线。

TSP问题最简单的求解方法是枚举法。它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间,搜索空间是n个点的所有排列的集合,大小为(n-1)。可以形象地把解空间看成是一个无穷大的丘陵地带,各山峰或山谷的高度即是问题的极值。求解TSP,则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。

 

旅行商问题的历史

  旅行商问题字面上的理解是:有一个推销员,要到n个城市推销商品,他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。

TSP的历史很久,最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题,即对于国际象棋棋盘中的64个方格,走访64个方格一次且仅一次,并且最终返回到起始点。

TSP由美国RAND公司于1948年引入,该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。

 

旅行商问题的解法

  旅行推销员的问题,我们称之为巡行(Tour),此种问题属于NP-Complete的问题,所以旅行商问题大多集中在启发式解法Bodin1983)等人将旅行推销员问题的启发式解法分成三种:

1、途程建构法Tour Construction Procedures

  从距离矩阵中产生一个近似最佳解的途径,有以下几种解法:

1)最近邻点法Nearest Neighbor Procedure):一开始以寻找离场站最近的需求点为起始路线的第一个顾客,此后寻找离最后加入路线的顾客最近的需求点,直到最后。

2)节省法Clark and Wright Saving):以服务每一个节点为起始解,根据三角不等式两边之和大于第三边之性质,其起始状况为每服务一个顾客后便回场站,而后计算路线间合并节省量,将节省量以降序排序而依次合并路线,直到最后。

3)插入法Insertion procedures):如最近插入法、最省插入法、随意插入法、最远插入法、最大角度插入法等。

2、途程改善法Tour Improvement Procedure

  先给定一个可行途程,然后进行改善,一直到不能改善为止。有以下几种解法:

1K-Opt(2/3 Opt):把尚未加入路径的K条节线暂时取代目前路径中K条节线,并计算其成本(或距离),如果成本降低(距离减少),则取代之,直到无法改善为止,K通常为23

2Or-Opt:在相同路径上相邻的需求点,将之和本身或其它路径交换且仍保持路径方向性,并计算其成本(或距离),如果成本降低(距离减少),则取代之,直到无法改善为止。

3、合成启发法Composite Procedure

  先由途程建构法产生起始途程,然后再使用途程改善法去寻求最佳解,又称为两段解法two phase method)。有以下几种解法:

1)起始解求解+2-Opt:以途程建构法建立一个起始的解,再用2-Opt的方式改善途程,直到不能改善为止。

2)起始解求解+3-Opt:以途程建构法建立一个起始的解,再用3-Opt的方式改善途程,直到不能改善为止。

 

背包问题

简介

  它是在1978年由MerkelHellman提出的。它的主要思路是假定某人拥有大量物品,重量各不同。此人通过秘密地选择一部分物品并将它们放到背包中来加密消息。背包中的物品中重量是公开的,所有可能的物品也是公开的,但背包中的物品是保密的。附加一定的限制条件,给出重量,而要列出可能的物品,在计算上是不可实现的。背包问题是熟知的不可计算问题,背包体制以其加密,解密速度快而其人注目。但是,大多数一次背包体制均被破译了,因此现在很少有人使用它。

 

相关题目详解

  背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化NP完全问题。问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

  也可以将背包问题描述为决定性问题,即在总重量不超过W的前提下,总价值是否能达到V

背包问题

   题目

  有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

  基本思路

  这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

  用子问题定义状态:即f[v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}

  这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:将前i件物品放入容量为v的背包中这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为i-1件物品放入容量为v的背包中;如果放第i件物品,那么问题就转化为i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中,此时能获得的最大价值就是f [v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w

约瑟夫问题(Josephus Problem

说明

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事:在罗马人占领乔塔帕特后,39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人到,于是决定了一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀,然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从,Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。

解法

约瑟夫问题可用代数分析来求解,将这个问题扩大好了,假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏,您要如何保护您与您的朋友?只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏,这两个圆圈内圈是排列顺序,而外圈是自杀顺序,如下图所示:

使用程序来求解的话,只要将数组当作环状来处理就可以了,在数组中由计数1开始,每找到三个无数据区就填入一个计数,直而计数达41为止,然后将数组由索引1开始列出,就可以得知每个位置的自杀顺序,这就是约瑟夫排列,41个人而报数3的约琴夫排列如下所示:

14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23


由上可知,最后一个自杀的是在第31个位置,而倒数第二个自杀的要排在第16个位置,之前的人都死光了,所以他们也就不知道约琴夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

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