单调队列+STL deque

单调队列=双端队列！

我们从最简单的问题开始：

给定一个长度为N的整数数列a(i),i=0,1,...,N-1和窗长度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1

问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动，求窗里面所包含的数的最大值。

解法一：

很直观的一种解法，那就是从数列的开头，将窗放上去，然后找到这最开始的k个数的最大值，然后窗最后移一个单元，继续找到k个数中的最大值。

这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较，复杂度为O(N*k)。

那么有没有更快一点的算法呢？

解法二：

我们知道，上一种算法有一个地方是重复比较了，就是在找当前的f(i)的时候，i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢？当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以，这就要用到单调递减队列。

单调递减队列是这么一个队列，它的头元素一直是队列当中的最大值，而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素，可以从队列的两端删除元素。

1.首先看插入元素：为了保证队列的递减性，我们在插入元素v的时候，要将队尾的元素和v比较，如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素，然后继续将新的队尾的元素与v比较，直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。

2.队尾的删除刚刚已经说了，那么队首的元素什么时候删除呢？由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值，所以当队首的元素的索引或下标小于 i-k+1的时候，就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了，因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]

从上面的介绍当中，我们知道，单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值，而且要保存元素的索引（当然在实际应用中我们可以只需要保存索引，而通过索引间接找到当前索引的值）。

为了让读者更明白一点，我举个简单的例子。

假设数列为：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那么我们构造一个长度为3的单调递减队列：

首先，那8和它的索引0放入队列中，我们用（8，0）表示，每一步插入元素时队列中的元素如下：

0：插入8，队列为：（8，0）

1：插入7，队列为：（8，0），（7，1）

2：插入12，队列为：（12，2）

3：插入5，队列为：（12，2），（5，3）

4：插入16，队列为：（16，4）

5：插入9，队列为：（16，4），（9，5）

。。。。依此类推

那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

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ps：STL的deque接口

deque，意为double ended queue（双端队列），常读作deck。其用法和大家熟知的vector类似，接口基本和vector雷同。至于二者的不同之处和孰优孰劣，上面摘录的侯大师书里说的也很明白。容器本身没有绝对的好坏，关键看应用环境和需要。

    成员函数表如下：

函数	描述
assign(beg,end) assign(n,elem)	将[beg; end) 区间中的数据赋值 将n个elem 的拷贝赋值
at(idx)	传回索引 idx 所指的数据，如果 idx 越界，抛出 out_of_range
back()	传回最后一个数据，不检查这个数据是否存在
begin()	传回迭代器重的可一个数据
clear()	移除容器中所有数据
deque c1(c2) deque c(n) deque c(n, elem) deque c(beg,end) ~deque()	复制一个deque 创建一个deque,含有n个数据,数据均已缺省构造产生 创建一个含有n个elem 拷贝的 deque 创建一个以[beg;end)区间的 deque 销毁所有数据，释放内存
empty()	判断容器是否为空
end()	指向迭代器中的最后一个数据地址
erase(pos) erase(beg,end)	删除pos位置的数据，传回下一个数据的位置 删除[beg,end)区间的数据,传回下一个数据的位置
front()	传回地一个数据
get_allocator	使用构造函数返回一个拷贝
insert(pos,elem) insert(pos,n,elem) insert(pos,beg,end)	在pos位置插入一个elem拷贝,传回新数据位置 在pos位置插入n 个elem数据,无返回值 在pos位置插入在[beg,end)区间的数据,无返回值
max_size()	返回容器中最大数据的数量
pop_back()	删除最后一个数据
pop_front()	删除头部数据
push_back(elem)	在尾部加入一个数据
push_front(elem)	在头部插入一个数据
rbegin()	传回一个逆向队列的第一个数据
rend()	传回一个逆向队列的最后一个数据的下一个位置
resize(num)	重新指定队列的长度
size()	返回容器中实际数据的个数
c1.swap(c2) swap(c1,c2)	将 c1 和 c2 元素互换 同上操作
operator []	返回容器中指定位置的一个引用