判断平面多边形的凹凸性

对于平面多边形的三角化处理也是计算机图形学里面的一个领域，最近由于项目的需要，需要对平面多边形进行剖分，特此对其作了些研究。

在对平面多边形进行处理的时候，很多时候需要知道多边形的凹凸性，本文介绍两种方法来进行平面多边形凹凸性的判定，文章后面会给出示例代码。

1、使用角度和判断凹凸性

我们知道，任意n个顶点的凸多边形可以分解成(n-2)个三角形，一个三角形的内角和是180°，所有三角形的内角和是(n-2)*180°，这一点，对于凸多边形或者凹多边形来说都是一样的，但是对于一个凸多边形来说，不存在内角大于外角，而凹多边形则会存在。

因此，将多边形每个顶点处较小的角（内角或外角）相加，凸多边形得到(n-2)*180°,而凹多边形则小于它。至于如何判断小角，我们可以使用几何工具---向量点乘。我们知道，向量点乘可以用来等价求两个向量的夹角，它的值（即角度）总是以较短的弧度来度量的。

以下是代码的示例：

bool IsHollow(std::vector curveloopPoints)const
	{
		//使用角度和判断凹凸性：凸多边形的内角和为（n-2）*180°
		auto num = curveloopPoints.size();
		float angleSum = 0.0;
		for (int i = 0; i < num; i++)
		{
			Vector3 e1;
			if (i==0)
			{
				e1 = curveloopPoints[num - 1] - curveloopPoints[i];
			}
			else
			{
				e1 = curveloopPoints[i - 1] - curveloopPoints[i];
			}
			Vector3 e2;
			if (i==num-1)
			{
				e2 = curveloopPoints[0] - curveloopPoints[i];
			}
			else
			{
				e2 = curveloopPoints[i + 1] - curveloopPoints[i];
			}
			//标准化并计算点乘
			e1.normalize(); e2.normalize();
			float mdot = e1%e2;
			//计算较小值
			float theta = acos(mdot);
			//加和
			angleSum += theta;
		}
		//计算内角和
		float convexAngleSum = float((num - 2))*YZ_PI;
		//判断凹凸性
		if (angleSum<(convexAngleSum-(float(num)*0.00001)))
		{/*
			if (HollowPoints.size()>0)
			{*/
				//m_IsHollow = true;
			//}
			return true;//是凹

		}
	
		return false;//否则是凸
	}

2、使用矢量判断凹凸性，检测多边形的凸点

检测多边形上是否有凹点，如果没有则为凸多边形。其原理是，凸多边形的每个顶点的转向都应该一致，不一致的点 就是凹点。

我们判断一个顶点的转向，使用的是另一个几何工具---向量叉乘。

这里我们需要平面的法向量，根据法向量来检测多边形的每个顶点：

用相邻的两个边向量计算该顶点的法向量，接着用多边形的法向量和点的法向量点乘，若点乘值为负（方向相反），则该顶点就是一个凹点。

如下图所示，红色旋转方向为逆时针的顶点是多边形的凸点。

以下是方法的示例代码，函数返回的是凹点坐标：

const std::vector& IsHollow_Vec(std::vector curveloopPoints)const
	{
		//假设传进来的顶点数组都是按照顺时针或者逆时针遍历的，且没有重复点
		//使用法向量判断凹凸性，检测多边形上是否有凸点，每个顶点的转向都应该一致，若不一致则为凹点
		std::vector HollowPoints;
		auto num = curveloopPoints.size();
		Vector3 HollowNor = (curveloopPoints[num-1] - curveloopPoints[0])* (curveloopPoints[1] - curveloopPoints[0]);
		Vector3 Nor;
		for (int i = 0; i < num;i++)
		{
			if (i==0)//第一个点
			{
				Nor = (curveloopPoints[0] - curveloopPoints[num - 1])* (curveloopPoints[1] - curveloopPoints[0]);
				if ((Nor%HollowNor)>0.0)//如果点乘大于0
				{
					HollowPoints.push_back(curveloopPoints[i]);
				}
			}
			else if (i==num-1)//最后一个点
			{
				Nor = (curveloopPoints[i] - curveloopPoints[i - 1])* (curveloopPoints[0] - curveloopPoints[i]);
				if (((Nor%HollowNor) > 0.0))//如果点乘大于0
				{
					HollowPoints.push_back(curveloopPoints[i]);
				}
			}
			else//中间点
			{
				Nor = (curveloopPoints[i] - curveloopPoints[i - 1])* (curveloopPoints[i+1] - curveloopPoints[i]);
				if (((Nor%HollowNor) > 0.0))//如果点乘大于0
				{
					HollowPoints.push_back(curveloopPoints[i]);
				}
			}
		}
		return HollowPoints;
	}

 

以上两种判断多边形凹凸性的方法来自于《3D数学基础图形与游戏开发》一书，并由自己编程实现。