两角和与差的正弦、余弦、正切公式的证明
1、关于\(cos(\alpha-\beta)=cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta\)的证明思路：
思路一：复数法
思路二：两点间距离公式
思路三：余弦定理
思路四：向量方法
向量方法的证明过程
如图所示的单位圆，我们先看两个角都是锐角\((\alpha>\beta)\)的情形；
角\(\alpha\)和\(\beta\)的终边分别交单位圆于点A和B，则根据三角函数的定义可知，\(A(cos\alpha，sin\alpha)\)、\(B(cos\beta，sin\beta)\)
则有\(\overrightarrow{OA}=(cos\alpha，sin\alpha)\)，\(\overrightarrow{OB}=(cos\beta，sin\beta)\)
由向量的內积定义可知，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos<\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}>=cos(\alpha-\beta)\)
又由向量的內积的坐标运算可知，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta\)
则有\(cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta\)
当两个角是其他情形时，\(\alpha-\beta\)和上面的情形相比，会相差\(2k\pi(k\in Z)\)，则由诱导公式可知，仍然满足\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos<\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}>=cos(\alpha-\beta)\)
故仍有\(cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta\)，证毕。
2、几个公式的关系：
- 用\(cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta\)证明\(cos(\alpha+\beta)\)
由于公式中的\(\alpha、\beta\in R\)，则可以用\(-\beta\)替换上式中的\(\beta\)，得到
\(cos(\alpha-(-\beta))=cos\alpha\cdot cos(-\beta)+sin\alpha\cdot sin(-\beta)\)，即
\(cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta-sin\alpha\cdot sin\beta\)，证毕。
- 用\(cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta\)证明\(sin(\alpha+\beta)\)
\(sin(\alpha+\beta)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)]=cos[(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)-\beta]\)
\(=cos(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)\cdot cos\beta+sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)\cdot sin\beta=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta\)
即\(sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta\)
3、举例说明如何使用公式
正用：如\(sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta\)，我们用两个单角\(\alpha\)和\(\beta\)的正弦和余弦值的代数式，就可以计算两角和的正弦\(sin(\alpha+\beta)\)
逆用：如\(cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta=cos(\alpha-\beta)\)，
变用：比如分式形式的公式，\(tan(\alpha+\beta)=\cfrac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta}\)，我们对其做变形，
还可以这样用\(tan(\alpha+\beta)\cdot (1-tan\alpha\cdot tan\beta)=tan\alpha+tan\beta\)
如果将其放置到三角形中，由\(A+B+C=\pi\)可知\(C=\pi-(A+B)\)，则有\(tan(A+B)=-tanC\)
代入上式则有\(tan(A+B)\cdot (1-tanA\cdot tanB)=tanA+tanB\)，
即\(-tanC\cdot (1-tanA\cdot tanB)=tanA+tanB\)，
整理则有\(tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB \cdot tanC\)。
活用：比如求值\(\cfrac{1-tan15^{\circ}}{1+tan15^{\circ}}=\cfrac{tan45^{\circ}-tan15^{\circ}}{1+tan45^{\circ}\cdot tan15^{\circ}}=tan30^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)
4、常用的公式结论
\(tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB \cdot tanC\)。
\((1+tan22^{\circ})\cdot (1+tan23^{\circ})=2\)
5、证明线索
\(C_{\alpha-\beta}\uparrow C_{\alpha+\beta}\uparrow\)
\(C_{\alpha+\beta}\uparrow\)
