李云清数据结构第九章检索
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第9 章 检索
9.1 选择题
（1）在关键字序列（12，23，34，45，56，67，78，89，91）中二分查找关键字为45、
89 和12 的结点时，所需进行的比较次数分别为（ B ）。
A．4，4，3 B．4，3，3 C．3，4，4 D．3，3，4
（2）适用于折半查找的表的存储方式及元素排列要求为（ D ）。
A．链式方式存储，元素无序 B．链式方式存储，元素有序
C．顺序方式存储，元素无序 D．顺序方式存储，元素有序
（3）设顺序存储的线性表共有123 个元素，按分块查找的要求等分成3 块。若对索引表
采用顺序查找来确定块，并在确定的块中进行顺序查找，则在查找概率相等的情况下，分块查
找成功时的平均查找长度为（ B ）。
A．21 B．23 C．41 D．62
（4）已知含10 个结点的二叉排序树是一棵完全二叉树，则该二叉排序树在等概率情况下查
找成功的平均查找长度等于（ B ）。
A．1.0 B．2.9 C．3.4 D．5.5
（5）在图9.27 所示的各棵二叉树中，二叉排序树是（ C ）。
图9.27 题（5）图
（6）由同一关键字集合构造的各棵二叉排序树（ B ）。
A．其形态不一定相同，但平均查找长度相同
B．其形态不一定相同，平均查找长度也不一定相同
C．其形态均相同，但平均查找长度不一定相同
D．其形态均相同，平均查找长度也都相同
（7）有数据{53，30，37，12，45，24，96}，从空二叉树开始逐步插入数据形成二叉排
序树，若希望高度最小，则应该选择下列（ A ）的序列输入。
A．37,24,12,30,53,45,96 B．45,24,53,12,37,96,30
C．12,24,30,37,45,53,96 D．30,24,12,37,45,96,53
（8）若在9 阶B-树中插入关键字引起结点分裂，则该结点在插入前含有的关键字个数为
（ C ）。
92
A．4 B．5 C．8 D．9
（9）对于哈希函数H(key) = key%13，被称为同义词的关键字是（ D ）。
A．35 和41 B．23 和39 C．15 和44 D．25 和51
（10）下列叙述中，不符合m 阶B 树定义要求的是（ D ）。
A．根结点最多有m 棵子树
B．所有叶结点都在同一层上
C．各结点内关键字均升序或降序排列
D．叶结点之间通过指针链接
9.2 在分块检索中，对256 个元素的线性表分成多少块最好？每块的最佳长度是多少？若每块
的长度为8，其平均检索的长度是多少？
【答】：对256 个元素的线性表分成16 块，每块的最佳长度是17；若每块的长度为8，当采用
顺序检索方法确定所在的块时平均检索长度是21，当采用二分检索方法确定所在的块时平
均检索长度是9。
9.3 设有关键码A、B、C 和D，按照不同的输入顺序，共可能组成多少不同的二叉排序树。
请画出其中高度较小的6 种。
【答】：共可能组成14 种不同形态的二叉排序树。其中高度较小的6 种如图9.28（a ）所示。
其它8 种分别是高度为4 的二叉排序树如图9.28(b)所示。
（a） 4 个结点组成的高度较小的6 棵二叉排序树
（b） 4 个结点组成的高度为4 的二叉排序树
图9.28 4 个结点输入序列构成的不同二叉排序树
9.4 已知序列17，31，13，11，20，35，25，8，4，11，24，40，27。请画出由该输入序列构
成的二叉排序树，并分别给出下列操作后的二叉排序树。
（1）插入数据9；（2）删除结点17；（3）再删除结点13
【答】：该序列的二叉排序树如图9.29（a）所示，插入数据9 后的二叉排序树如图9.29（b）
所示，删除结点17 后的二叉排序树如图9.29（c）所示，再删除结点13 后的二叉排序树
如图9.29（d）所示。
93
（a） 二叉排序树 （b） 插入9 之后的二叉排序树
（c）删除17 之后的二叉排序树 （d）删除13 之后的二叉排序树
图9.29 二叉树结点插入与删除操作示例
9.5 试写一算法判别给定的二叉树是否为二叉排序树，设此二叉树以二叉链表为存储结构，且
树中结点的关键字均不相同。
【答】：判定二叉树是否为二叉排序树可以建立在二叉树中序遍历的基础上，在遍历中附设一
指针pre 指向树中当前访问结点的中序直接前驱，每访问一个结点就比较前驱结点pre 和
此结点是否有序；若遍历结束后各结点和其中序直接前驱均满足有序，则此二叉树即为二
叉排序树，否则不是二叉排序树。
二叉树存储结构定义为：
typedef int datatype;
typedef struct node /二叉树结点定义/
{ datatype data;
struct node *lchild,*rchild;
}bintnode;
typedef bintnode *bintree;
函数bisorttree()用于判断二叉树t 是否为二叉排序树，初始时pre=NULL；flag=1；结
束时若flag1，则此二叉树为二叉排序树，否则此二叉树不是二叉排序树。
void bisorttree(bintree t,bintree *pre,int *flag)
{if (t&& *flag1)
{ bisorttree(t->lchild,pre,flag); /判断左子树/
if (preNULL) /访问中序序列的第一个结点时不需要比较/
94
{ *flag=1;
*pre=t;
}
else /比较t 与中序直接前驱pre 的大小（假定无相同关键字）/
{if ((*pre)->datadata)
{*flag=1;
pre=t;
}
else / pre 与t 无序 */
*flag=0;
}
bisorttree(t->rchild,pre,flag); /判断右子树/
}
}
9.6 设T 是一棵给定的查找树，试编写一个在树T 中删除根结点值为a 的子树的程序。要求在
删除的过程中释放该子树中所有结点所占用的存储空间。这里假设树T 中的结点采用二
叉链表存储结构。
【答】：删除二叉树可以采用后序遍历方法，先删除左子树，再删除右子树，最后删除根结点。
本题先在指定的树中查找值为a 的结点，找到后删除该棵子树。相关函数实现如下（二叉
排序树的结构定义同题9.5）
/删除以t 为根的二叉树/
void deletetree(bintree *t)
{if (*t)
{deletetree(&(*t)->lchild); /递归删除左子树/
deletetree(&(*t)->rchild); /递归删除右子树/
free(*t); /删除根结点/
}
}
/删除二叉树中以根结点值为a 的子树/
void deletea(bintree *t,datatype a)
{bintree pre=NULL,p=*t;
while (p&&p->data!=a) /查找值为a 的结点/
{pre=p;
p=(adata)?p->lchild:p->rchild;
}
if (!pre) *t=NULL; /树根/
else /非树根/
if (pre->lchildp) pre->lchild=NULL;
else pre->rchild=NULL;
95
deletetree(&p); /删除以p 为根的子树/
}
9.7 含有12 个节点的平衡二叉树的最大深度是多少（设根结点深度为0），并画出一棵这样的
树。
【答】：含有12 个节点的平衡二叉树的最大深度是4（设根结点深度为0），如果根结点的深度
为1 则本题的答案为5，该树如图9.30 所示。
图9.30 具有12 个结点的深度为4 的平衡二叉树
9.8 试用Adelson 插入方法依次把结点值为60，40，30，150，130，50，90，80，96，25 的
记录插入到初始为空的平衡二叉排序树中，使得在每次插入后保持该树仍然是平衡查找
树。请依次画出每次插入后所形成的平衡查找树。
【答】：由结点序列构成的平衡二叉排序树如图9.31 所示。
60 60
40
0
0
1
60
40 1
2
30
0
40
60
0
0
30
0
40
60
0
-1
30
-1
150 0
（a）空树（b）插入60（c）插入40 （d）插入30 （e）LL 型调整 （f）插入150
40
60
0
-1
30
-2
150 1
130 0
40
130
0
-1
30
0
150
0
60
0
40
130
0
-2
30
1
150
0
60
1
50
0
60
130
0
0
40
-1
150
0
50
0 0
30
（g）插入130 （h）RL 型调整 （i）插入50 （j）RL 型调整
96
（k）插入90 （l）插入80 （m）插入96 （n）插入25
图9.31 AVL 树的插入过程
9.9 结点关键字k1，k2，k3，k4，k5 为一个有序序列，它们的相对使用频率分别为p1=6，p2=8，
p3=12，p4=2，p5=16，外部结点的相对使用频率分别为q0=4，q1=9，q2=8，q3=12，q4=3，
q5=2。试构造出有序序列k1，k2，k3，k4，k5 所组成的最优查找树。
【答】：（略）
9.10 证明Huffman 算法能正确地生成一棵具有最小带权外部路枝长度的二叉树。
【答】：哈夫曼提出了一种构造最优前缀编码的贪心算法，由此产生的编码方案称为哈夫曼算
法。哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。算法以C 个叶结点
开始，执行C-1 次的“合并”运算后产生最终所要求的树T。要证明哈夫曼算法的正确性，
只要证明最优前缀码问题具有贪心选择性质和最优子结构性质。
（1）贪心选择性质
设C 是编码字符集，C 中字符c 的频率为f（c）。又设x 和y 是C 中具有最小频率的两个
字符，则存在C 的一个最优前缀编码使x 和y 具有相同码长且仅最后一们编码不同。
证明：设二叉树T 表示C 的任意一个最优前缀码。我们要证明可以对T 作适当修改后得
到一棵新的二叉树T’’，使得在新树中，x 和y 是最深中子且为兄弟。同时新树T’‘表示的前缀
码也是CS 的一个最优前缀码。如果我们能做到这一点，则x 和y 在T’‘表示的最优前缀码中就
具有相同的码长且仅最后一位编码不同。
设b 和c 是二叉树T 的最深叶子且为兄弟。不失一般性，可设f（b） ≤ f（c）,f（x） ≤ f
（y）。由于x 和y 是C 中具有最小频率的两个字符，故f（x） ≤ f（b），f（y） ≤ f（c）。
首先在树T 中交换叶子b 和x 位置得到树T’，然后在树T’‘再交换叶子c 和y 的位置，得到树
T’’。如下图所示。
图 编码树T 的变换
由此可知，树T 和T’表示的前缀码的平均码长之差为
97
B（T）-B（T’）=Σ
c∈CS
T c d c f ) ( ) ( -Σ
c∈CS
T f ©d © ’
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ’ ’ f x d x f b d b f x d x f b d b T T T T + − −
= f (x)d (x) f (b)d (b) f (x)d (b) f (b)d (x) T T T T + − −
= ( f (b) − f (x))(d (b) − d (x)) ≥ 0 T T
最后一个不等式是因为f（b）-f（x）和dT（b）-dT（x）均为非负。
类似地，可以证明在T’中交换y 与c 的位置也不增加平均码长，即B（T’）-B（T’’）也是非负
的。由此可知B（T’’） ≤ B（T’） ≤ B（T）。另一方面，由于T 所表示的前缀码是最优的，
故B（T） ≤ B（T’’）。因此，B（T）=B（T’’），即T’‘表示的前缀码也是最优前缀码，且x
和y 具有最长的码长，同时仅最后一位编码不同。
（2）最优子结构性质
设T 是表示字符集C 的一个最优前缀码的二叉树。C 中字符c 的出现频率为f（c）。设x 和y
是树T 中的两个叶子且为兄弟，z 是它们的双亲。若将z 看作是具有频率f（z）=f（x）
+f（y）的字符，则树T’=T-{x，y}表示字符集C’=C-{x,y} ∪ {z}的确一个最优前缀码。
证明：我们首先证明T 的平均码长B（T）可用T’的平均码长B（T’）来表示。
事实上，对任意c∈C-{x，y}有，dT©=dT’（c），故有f（c）dT（c）=f（c）dT’（c）。
另一方面，dT（x）=dT（y）=dT’（z）+1，故
f（x）dT（x）+f（y）dT（y）=（f（x）+f（y））(dT’（z）+1)
=f（x）+f（y）+f（z）dT’（z）
由此即知，B（T）=B（T’）+f（x）+f（y）。
由T’所表示的字符集C’的前缀码不是最优的，则有T’‘表示的C’的前缀码使得B（T’’）
为z 的儿子，则得到表示字符集C 的前缀码的二叉树T’’’，且有
B（T’’’）=B（T’’）+f（x）+f（y）
由贪心选择性质和最优子结构性质立即可推出：哈夫曼算法是正确的，Huffman 算法能正
确地生成一棵具有最小带权外部路枝长度的二叉树。Huffman Tree 产生C 的确一棵最优前缀
编码树。
9.11 假设通讯电文中只用到A，B，C，D，E，F 六个字母，它们在电文中出现的相对频率分
别为：8，3，16，10，5，20，试为它们设计Huffman 编码。
【答】：由A，B，C，D，E，F 建立的Huffman 树如下：
各字符对应的Huffman 编码为：
A：001
B：0000
C：10
98
D：01
E：0001
F：11
3 5
8
10 16 20
B E
A
D C F
8
16
26 36
62
9.12 含有9 个叶子结点的3 阶B-树中至少有多少个非叶子结点？含有10 个叶子结点的3 阶
__________B-树中至少有多少个非叶子结点？
【答】：（略）
9.13 编写在B-树中插入结点与删除结点的算法程序。
【答】：（略）
9.14 用依次输入的关键字23、30、51、29、27、15、11、17 和16 建一棵3 阶B-树，画出建
该树的变化过程示意图（每插入一个结点至少有一张图）。
【答】：（略）
9.15 设散列表长度为11，散列函数H（x）=x % 11，给定的关键字序列为：1，13，12，34，
38，33，27，22。试画出分别用拉链法和线性探测法解决冲突时所构造的散列表，并求出
在等概率的情况下，这两种方法查找成功和失败时的平均查找长度。
【答】：
（1）拉链法构造的散列表如下：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
22 33
34 12 1
13
27 38
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
99
查找成功时的平均查找长度为：13/8
查找失败时的平均查找长度为：8/11
（2）线性探测法构造的散列表如下：
查找成功时的平均查找长度为：（1+1+3+4+1+1+2+8）/8=21/8
查找失败时的平均查找长度为：（1+2+3+…+11）/11=6 次
9.16 设散列表为T[0…12]，即表的大小m=13。现采用再哈希法（双散列法）解决冲突。散列
函数和再散列函数分别为：
H0（k）=k % 13、 Hi=（Hi-1+REV（k+1）%11+1）%13；i=1，2，…，m-1
其中，函数REV（x）表示颠倒10 进制数的各位，如REV（37）=73，REV（1）=1 等。
若插入的关键码序列为{2，8，31，20，19，18，53，27}。
（1）试画出插入这8 个关键码后的散列表。
（2）计算检索成功的平均查找长度ASL。
【答】：（1）
H0（2）=2，2 存入2 号。
H0（8）=8，8 存入8 号。
H0（31）=5，31 存入5 号。
H0（20）=7，20 存入7 号。
H0（19）=6，19 存入6 号。
H0（18）=5，出现碰撞，H1（18）=（5+91%11+1）%13=9，18 存入9 号。
H0（53）=1，53 存入1 号。
H0（27）=1，出现碰撞，H1（27）=（1+82%11+1）%13=7，发生碰撞，H2（27）=（7+82%11+1）
%13=0，27 存入0 号。
插入8 个关键码序列以后的散列表如下所示：
（2）检索成功的平均查找长度是1.375。
位置 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
关键码 27 53 2 31 19 20 8 5
100