Leetcode--322--零钱兑换【C++、动态规划】

萌新记录~多多指教
来源：力扣（LeetCode）
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本题思路参照了博主labuladong的题解，讲解非常详细！

题目描述
给定不同面额的硬币 $coins$和一个总金额 $amount$。
编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。
如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 $-1$。

示例 1:
输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1

示例 2:
输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

思路：
这个问题是一个动态规划的问题。因为它具有最优子结构。
基本思想就是把所有能凑硬币的方法都穷举出来，然后再找最少需要多少枚硬币。
针对动态规划的问题，最重要的就是写出正确的状态转移方程。

• 首先，确定状态。也就是原问题和每个子问题中变化的量。在本题中，由于硬币的数量无限，因此唯一的状态就是目标金额 $amount$。
• 然后确定dp 函数的定义。当前的目标金额是$n$，至少需要 $dp(n)$ 个硬币可以凑出该金额。
• 然后确定选择，并择优。这里的选择 就是从 面额列表$coins$中选择一个硬币，相应的目标金额就会减少。
• 最后明确base case: 显然当目标金额为$0$，所需的硬币数量也是$0$。因此，$dp[0]=0$。且当目标金额小于$0$时，返回$-1$。

我们采用自底向上的方式进行思考。定义dp(i) 为组成金额 i 所需的最少的硬币数量。
假设在计算 $dp(i)$之前我们已经计算了 $dp(0)$ ~ $dp(i-1)$ 的值。
那么$dp(i)$对应的转移方程就为 $dp(i)=\underset{j=0,...,n-1}{\min }dp(i-coin{s}_j)+1$
其中 $c_j$ 代表的是第 $j$ 枚硬币的面值，即我们枚举最后一枚硬币的面额是 $c_j$ 那么需要从 $i-c_j$ 这个金额的状态 $dp(i-c_j)$ 转移过来，再算上枚举这枚硬币数量 $1$ 的贡献。
由于需要硬币数量最少，所以 $dp(i)$ 为前面转移过来的状态的最小值加上枚举的硬币数量 $1$。

例如：

coins = [1, 2, 3], amount = 6

参考代码

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector <int> dp(amount + 1,amount + 1);//因为凑成 amount 金额的硬币数最多只可能等于 amount（全用 1 元面值的硬币），所以初始化为 amount + 1 就相当于初始化为正无穷，便于后续取最小值。
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= amount; i++)
        {
            for(int j = 0; j < (int)coins.size(); j++)
            {
                if(coins[j] <= i)
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-coins[j]] + 1);
            }
        }
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
};