矩阵的迹

迹运算返回的是矩阵对角元素的和，

Tr(A)=∑iAi,i T r ( A ) = ∑ i A i , i

迹运算因为很多原因而使用。若不使用求和符号，很多矩阵运算难以描述，而通过矩阵乘法和迹运算符号可以清楚的表示。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵F范数的方式，

∥A∥F=Tr(AAT)−−−−−−−−√ ‖ A ‖ F = T r ( A A T )

用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式巧妙的处理表达式。例如，迹运算在转置运算下是保持不变的，

Tr(A)=Tr(AT) T r ( A ) = T r ( A T )

多个矩阵相乘得到的方阵的迹，和将这些矩阵最后面一个挪到最前面之后相乘的迹是相同的。当然，我们需要考虑矩阵乘积在挪动之后依然定义良好，

Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA) T r ( A B C ) = T r ( C A B ) = T r ( B C A )

另一个有用的事实是标量在迹运算后仍然是它自己： a=Tr(a) a = T r ( a ) 。