GMRES方法求解二维不可压Stokes方程(附MATLAB代码)

 

目录

 

一、问题描述

二、 问题分析

三、 数值格式

四、 数值实验

GMRES方法

预处理的GMRES方法

数值解图像

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一、问题描述

考虑如下不可压的Stokes方程

通常设  令 
定义流函数   满足

显然有
定义窝度  经计算, stokes 方程可化为

x相应的边界条件为

之后利用有限差分来计算.

问题：

1. 写出离散格式对应的代数系统, 即 ;

2. 设计有效的迭代法求解  要求单步迭代的复杂度为  其中  为  的维数;

3. 设计有效的预条件, 并比较预处理前后迭代法的效率差别.

二、 问题分析

在[0,1]上进行等距差分, 记其中
在点处, 有:

若是内点, 即 离散方程为

若  是边界点, 以  为例

其余边界点类似, 即

对于角点

三、 数值格式

由第二部分的问题分析可知, 此问题对应的数值格式为 其中

故可知

其中具体来说，考虑的元素, 经过分析易知, 这等价于在区间上的离散, 即有

经分析有

类似的办法来处理和 有为在上的离散, 为在上的离散. 即

类似有

故我们得到系数矩阵, 经分析易得

至此,我们便得到了离散的数值格式.

 

 由图可知,是不对称的稀疏矩阵, 故我们用GMRES算法和预优GMRES算法来求解此问题.

四、 数值实验

GMRES方法

我们取[0,1]上的分隔点为5,10,20,40,80, 对应的矩阵维数为

GMRES的MATLAB代码为

function [ x,j,res,resvec,time] = mygmres( A, b, x0, tol, max_it )
%% GMRES METHOD
% j : the number of iterations;
% res : the residual value at termination;
% x : solution
% time : CPU time;

if nargin < 5
    max_it=1000;
end
if nargin < 4
    tol = 1.e-10;
end
if nargin < 3
    x0 = zeros(length(b),1);
end
tic;
r0 = A*x0 - b;
beta = norm(r0);
V(:,1) = r0/beta;
resvec = beta;
Q = cast(1,'like',b);

j = 0;
while ((abs(resvec(j + 1)) > tol) && (j < max_it))
    % Arnoldi %
    j = j + 1;
    w = A*V(:,j);
    for i = 1:j
        H(i,j) = w'*V(:,i);
        w = w - H(i,j)*V(:,i);
    end
    H((j + 1),j) = norm(w,2);
    V(:,(j + 1)) = w/H((j + 1),j);
    
    % Construct R and Givens rotation %
    H(1:j,j) = Q*H(1:j,j);
    rho = H(j,j);
    H(j,j) = sqrt(rho^2 + H((j +1),j)^2);
    c = rho/H(j,j);
    s = H((j + 1),j)/H(j,j);
    H((j + 1),j) = 0;
    
    % Apply Givens rotation to Q %
    Q((j + 1),:) = -s*Q(j,:);
    Q(j,:) = c*Q(j,:);
    Q((j + 1),(j + 1)) = c;
    Q(j,(j + 1)) = s;
    
    % Apply Givens rotation to resvec%
    resvec(j + 1,1) = -s*resvec(j,1);
    resvec(j,1) = c*resvec(j,1);
end

y = H((1:j),:)\resvec(1:j);

x = x0 - V(:,(1:j))*y;
res = abs(resvec(j + 1));
resvec = abs(resvec);
time=toc;
end

预处理的GMRES方法

同样，取预处理矩阵为Jacobi矩阵,即

M = diag(diag(A));

有

比较两种方法, 我们有

其中, 预优GMRES方法为

function [ x,j,res,resvec,time] = mygmres_ja( A, b, x0, tol, max_it )
%% GMRES METHOD (Pre-processing M = Jacobi)
% j : the number of iterations;
% res : the residual value at termination;
% x : solution
% time : CPU time;

if nargin < 5
    max_it=1000;
end
if nargin < 4
    tol = 1.e-10;
end
if nargin < 3
    x0 = zeros(length(b),1);
end
tic;
M = diag(diag(A)); % Jacobi pre-processing matrix; 
r0 =M\(A*x0 - b);
beta = norm(r0);
V(:,1) = r0/beta;
resvec = beta;
Q = cast(1,'like',b);

j = 0;
while ((abs(resvec(j + 1)) > tol) && (j < max_it))
    % Arnoldi %
    j = j + 1;
    w = M\A*V(:,j);
    for i = 1:j
        H(i,j) = w'*V(:,i);
        w = w - H(i,j)*V(:,i);
    end
    H((j + 1),j) = norm(w,2);
    V(:,(j + 1)) = w/H((j + 1),j);
    
    % Construct R and Givens rotation %
    H(1:j,j) = Q*H(1:j,j);
    rho = H(j,j);
    H(j,j) = sqrt(rho^2 + H((j +1),j)^2);
    c = rho/H(j,j);
    s = H((j + 1),j)/H(j,j);
    H((j + 1),j) = 0;
    
    % Apply Givens rotation to Q %
    Q((j + 1),:) = -s*Q(j,:);
    Q(j,:) = c*Q(j,:);
    Q((j + 1),(j + 1)) = c;
    Q(j,(j + 1)) = s;
    
    % Apply Givens rotation to resvec%
    resvec(j + 1,1) = -s*resvec(j,1);
    resvec(j,1) = c*resvec(j,1);
end

y = H((1:j),:)\resvec(1:j);

x = x0 - V(:,(1:j))*y;
res = abs(resvec(j + 1));
resvec = abs(resvec);
time=toc;
end

数值解图像

最后, 我们给出最终的数值解图像