noip2017 Day1 T1 小凯的疑惑

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

输入格式

两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。

输出格式

一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

输入输出样例

输入 #1
3 7
输出 #1
11

题解:

这道题比较经典，单单打暴力 会TLE的。
似乎无从下手。
所以我们考虑数学方法。
假设a面值的有m 张，b面值的有n张
所以可表示的数为 N = ma $+$ nb (m $\ge$ 0, n $\ge$ 0)
而N $+$ 1 = ? (我们不知道）
而N $+$ b = ma $+$ (n $+$ 1)b
所以N 能表示，则N $+$ b可以表示
所以我们可以将 % b 的值 将数分成 b 组
通过样例我们来看看（就是a = 3, b = 7时）

0	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
0a + nb	5a + nb	3a + nb	1a + nb	6a + nb	4a + nb	2a + nb

所以所有可表示的数一定为（0a ~ (b - 1)a）+ nb (n $\ge$ 0)
所有每一列中的最大的不能表示的数为 （0a ~ (b - 1)a）- b;
所以答案为 （b - 1）* a - b = ab - a - b
用数学术语表达
答案 N $\equiv$ ma ($mod$ b) ( 1 $\le$ m $\le$ b - 1)
N $=$ ma + nb ( 1 $\le$ m $\le$ b $-$ 1)
当n $\ge$ 0时 N 能被表示出
所以当 n = -1 时 N为不能被表示出的最大值
所以N = (b - 1) * a - b = ab - a - b;

代码如下：（注意long long）

#include 
#include 
#include  
using namespace std;
int main(){
	freopen("math.in", "r", stdin); //文件输入输出 
	freopen("math.out", "w", stdout);
	long long a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << a * b - a - b;
	return 0;;
}