【Codeforces 1205C】Palindromic Paths（回文路径DP）

题目链接

对于格子$(i,j)$，若$i+j$为奇数则称为奇点，否则称为偶点。
 
首先发现询问距离为2的两个格子就可以知道它们是否值相同。已知$(1,1)$格子值为1，$(n,n)$格子值为0，一遍BFS可以求出所有偶点的值。
 
如果$(1,2)$格子的值已知，那么再一遍BFS可以求出所有奇点的值。我们假设$(1,2)$格子值为0/1，得到两种结果。因题目保证有解，所以两种结果下必然存在一组合法询问的答案不同，我们得到这组询问的答案就知道哪种结果正确了。
 
我们用DP分别求出两种结果下所有询问的答案即可。设$S[x1][y1][x2][y2]$表示$(x1,y1)$与$(x2,y2)$之间是否有合法回文路径，它为YES的条件是：$(x1,y1)$和$(x2,y2)$两个格子的值相同，且它们之间存在合法路径，并满足：$(x1,y1)$与$(x2,y2)$相同或接壤，或者存在$(x{1}^{\prime },y{1}^{\prime })$，$(x{2}^{\prime },y{2}^{\prime })$，满足$(x{1}^{\prime },y{1}^{\prime })$是$(x1,y1)$路径的后继，$(x{2}^{\prime },y{2}^{\prime })$是$(x2,y2)$路径的前驱，且$S[x{1}^{\prime }][y{1}^{\prime }][x{2}^{\prime }][y{2}^{\prime }]$为YES。用记忆化搜索写起来会方便些，复杂度为$O(n^4)$。
 
在两遍BFS中一共用到了$n^2-3$个询问，最后用到了一个询问，询问总数为$n^2-2$，符合题意。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
LL read( )
{
  LL sum=0;char c=getchar( );bool f=0;
  while(c<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=1;c=getchar( );}
  while(c>='0' && c<='9') {sum=sum*10+c-'0';c=getchar( );}
  if(f) return -sum;
  return sum;
}
int n;
const int dx[ ]={2,1,1,0,0,-1,-1,-2};
const int dy[ ]={0,1,-1,2,-2,1,-1,0};
const int DX[ ]={0,1,-1,0};
const int DY[ ]={1,0,0,-1};
#define CI const int
bool CH(int &x1,int &y1,int &x2,int &y2)
{
  if(x1<=x2&&y1<=y2) return 1;
  swap(x1,x2);swap(y1,y2);
  return(x1<=x2&&y1<=y2);
}
bool ASK(CI &x1,CI &y1,CI &x2,CI &y2)
{
  printf("? %d %d %d %d\n",x1,y1,x2,y2);
  fflush(stdout);return read( )^1;
} 
int qx[2505],qy[2505];
struct EX
{
  bool S[55][55],vis[55][55];
  bool F[55][55][55][55],V[55][55][55][55];
  void BFS(bool T)
  {
    int h,t,i,x,y,x1,y1,x2,y2,rx,ry;
    if(!T) {h=1;t=2;qx[1]=1;qy[1]=1;S[1][1]=1;vis[1][1]=1;qx[2]=n;qy[2]=n;S[n][n]=0;vis[n][n]=1;}
    else {h=t=1;qx[1]=1;qy[1]=2;S[1][2]=0;vis[1][2]=1;}
    while(h<=t)
      {
		x=qx[h];y=qy[h];h++;
		for(i=0;i<8;i++)
		  {
		    x1=x;y1=y;x2=x1+dx[i];y2=y1+dy[i];
		    if(x2<1||x2>n||y2<1||y2>n||vis[x2][y2]) continue;
		    if(CH(x1,y1,x2,y2))
		      {
				if(x==x2&&y==y2) rx=x1,ry=y1;else rx=x2,ry=y2;
				vis[rx][ry]=1,S[rx][ry]=S[x][y]^ASK(x1,y1,x2,y2),qx[++t]=rx,qy[t]=ry;
		      }
		  }
      }
  }
  bool DFS(int x1,int y1,int x2,int y2)
  {
    if(V[x1][y1][x2][y2]) return F[x1][y1][x2][y2];
    V[x1][y1][x2][y2]=1;
    if(S[x1][y1]!=S[x2][y2]) return F[x1][y1][x2][y2]=0;
    if(abs(x1-x2)+abs(y1-y2)<=1) return F[x1][y1][x2][y2]=1;
    int i,j,X1,Y1,X2,Y2;
    for(i=0;i<2;i++)
      {
		X1=x1+DX[i];Y1=y1+DY[i];
		if(X1<1||X1>n||Y1<1||Y1>n) continue;
		for(j=2;j<4;j++)
		  {
		    X2=x2+DX[j];Y2=y2+DY[j];
		    if(X2>=1&&X2<=n&&Y1>=1&&Y2<=n&&CH(X1,Y1,X2,Y2)&&DFS(X1,Y1,X2,Y2)) return F[x1][y1][x2][y2]=1;
		  }
      }
    return F[x1][y1][x2][y2]=0;
  }
  void output( )
  {
    puts("!");
    for(int i=1;i<=n;i++)
      {
		for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d",S[i][j]);
		puts("");
      }
  }
}K1,K2;
int main( )
{
  n=read( );
  K1.BFS(0);K1.BFS(1);
  int i,j,k,t,x1,y1,x2,y2;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
      K2.S[i][j]=K1.S[i][j]^((i+j)&1);
  for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
      for(k=1;k<=n;k++)
		for(t=1;t<=n;t++)
		  {
		    x1=i;y1=j;x2=k;y2=t;
		    if(!CH(x1,y1,x2,y2)) continue;
		    K1.DFS(x1,y1,x2,y2),K2.DFS(x1,y1,x2,y2);
		    if(K1.F[x1][y1][x2][y2]==K2.F[x1][y1][x2][y2]) continue;
		    if(abs(x1-x2)+abs(y1-y2)==1) continue;
		    if(ASK(x1,y1,x2,y2)==K1.F[x1][y1][x2][y2]) K2.output( );
		    else K1.output( );
		    return 0;
		  }
  return 0;
}