图论常见解题方法和套路

一、最短路径问题

1. 多源最短路径
   Floyd：

void Floyd(int *d)
{
      for(int k = 1; k <= n; ++ k)
            for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	            for(int j = 1; j <= n; ++ j)
                    {
			    d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
                    }
      return;
}

请记住此五行代码。
一般而言，可以用它判断图两点间的联通情况，称之为传递闭包，此时，仅需将转移的那一行改为：\(d[i][j]|=d[i][k]&d[k][j];\)

• 最小环问题（好好看看啊）

2. 单源最短路径
   以下示均使用邻接表。
   Dijkstra：

void Dijkstra(int S)
{
	priority_queue  Q;
  
	while(!Q.empty()) Q.pop();
        memset(dis, 0x7f, sizeof(dis);
        memset(vis, false, sizeof(vis));
	Q.push(make_pair(0, S));
	dis[S] = 0;
	while(!Q.empty())
	{
		int u = Q.top().second;Q.pop();	
		if(vis[u]) continue;
		vis[u] = true;
		for(int i = 0; i < G[u].size(); ++ i)
		{
			int v = G[u][i];
			if(dis[v] > dis[u] + W[u][i])
			{
				dis[v] = dis[u] + W[u][i];
				Q.push(make_pair(-dis[v], v));
			}
		}
	}
	return;
}

spfa：

void SPFA(int S)
{
	queue  Q;
	while(!Q.empty()) Q.pop();
	memset(inq, false, sizeof(inq));
	memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));
        Q.push(S);
        inq[S] = true;
	dis[S] = 0;

	while(!Q.empty())
	{
		int u = Q.front();
		Q.pop();
		inq[u] = false;
		for(int i = 0; i < G[u].size(); ++ i)
		{
			int v = G[u][i], w = W[u][i];
			if(dis[v] > dis[u] + w)
			{
				dis[v] = dis[u] + w;
				if(!inq[v])
			        {
					inq[v] = 1;
					Q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return;
}

• 若要求得从源点到终点所有路径，能够经过的边权最小的权值时，应将\(dis[v] = dis[u] + w\)改为\(dis[v] = min(w, dis[u])\)，而求最大值的时候，在Dijkstra还需要把堆写成大根堆；
• 当判断与源点相连是否存在负环的情况时，应当使用SPFA，在进行松弛操作的基础上加上一句话：\(cnt[v] = cnt[u] + 1\)，其中\(cnt[i]\)指的是源点到节点i最短路径边的条数，则若\(cnt[v] ≥ n\)，那么就判定为负环；
• 通常情况下，如果求每个节点到源点的最短路时，须要考虑建反图，跑一遍最短路即可；若记录最短路的条数时，应当更新（或松弛）的时候累加；
• 通常情况下，最短路更可能结合拓扑排序，请留意！

二、并查集

既能合并，又能查询的图论神器。
两种方法中，在图论中首选启发式合并。

//查询
int get(int x)
{
      if(fa[x] == x) return x;
      return get(fa[x]);
}

//合并
void merge(int x, int y)
{
      if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
      int v = get(y);
      fa[v] = x;
      dep[x] += dep[y];
      return;
}

主要用于存在多个联通块的情况。
此结构非常精巧，一定格外留意。

三、拓扑排序

不得不说，如果学图论时没有熟练掌握该操作，将是非常的遗憾。
代码如下：

void topsort() {
	while(!Q.empty()) 
      {
            Q.pop();
      }
	
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		if(deg[i] == 0) {
			Q.push(i);
		}
	}
	while(!Q.empty()){
		int x = Q.front();a.push_back(x);
		Q.pop();
		for(int i = 0; i < G[x].size(); ++ i){
			int y = G[x][i];
			--deg[y];
			if(deg[y] == 0){
				Q.push(y);
			}
		}
	}
	return;
}

拓扑排序用于判环、找结点的拓扑序等等。