C语言笔记之数据类型（三）

浮点型数据

一、非整数的表示

除了整数，平时的计算也离不开非整数，即带有小数部分的那些数。在数字系统中，整数和非整数合称为有理数，有理数和无理数合称为实数（好吧，这和本文主旨没关系，但为了显示一下我曾经是数学系的学生。。。）

非整数由一个”.“号来凸显，十进制表示法中，”.“号左边的数字的权为10的正整数幂，幂值按离小数点的距离远近依次为0、1、2...而右边为10的负整数幂，幂值由近及远依次为-1、-2、-3...

例如：12.25 = 1 * 10 ^ 1 + 2 * 10 ^ 0 + 2 * 10 ^ (-1) + 5 * 10 ^ (-2)

二进制表示是类似的，不同的是底数由10变成了2，如：11.01 = 1 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ (-1) + 1 * 2 ^ (-2) =3.25

然而，就像十进制无法精确的表示1/3等分数一样，二进制在表示非整数时，也是近似的。造成这一现象的原因在于，我们书写一个数字时，编码长度总是有限的，比如1/3 = 0.3333333.....我们不可能把3一直写下去；而对于二进制，我们无法用它精确地表示十进制的0.4，我感觉，无论哪种进制，在表示数字时，都是存在缝隙的。

二、非整数的存储

要存储形如11.101二进制的非整数，一个自然的想法就是分为整数部分和小数部分分别存储，这就是所谓的定点表示法——它规定小数点左边几个位用来表示整数；右边几个位表示小数。这种办法很直观，但是效率低下，而且对于超出定点范围的数它只能进行截断，从而无法精确表示。

注意到，一个二进制的非整数，其小数点向左移动一位相当于原数除以2；向右移动一位相当于乘以2。比如：

11.01 × 2 = 110.1;11.01 / 2 = 1.101

再联想到十进制的科学记数法，我们发现二进制也可以表示成x * 2 ^ y这种形式，其中x是一个定点数，它的小数点左边即整数部分只有一位，且只能是1不能是0（因为如果是0，我们总可以将小数点向右移动直到遇见1）；右边只能有固定位数的小数部分。y是2的幂，其大小为小数点移动的位数，当然根据向左还是向右，要添加适当的正负号。

这样，每个二进制非整数都要通过移动小数点来变成以上形式（该过程称为规范化），所以这种表示法称为浮点表示法。用这种方法表示的二进制非整数，我们只需要存储三个部分：数的符号，尾数，指数（小数点移动的位数含方向）。

三、单精度和双精度

IEEE定义了几种存储浮点数的标准，常见的两种就是单精度和双精度。单精度格式采用32位即4个字节来存储一个实数（可以包括整数），其中符号位占1位，尾数占23位，指数占8位；双精度格式采用8个字节64位存储一个实数，符号一位，尾数52位，指数11位。

下面谈谈这三部分实际是如何存储的。符号位无需多说，不是0就是1。关键在于指数的存储，它的存储形式决定了尾数的形式。指数存储为二进制时分为三种情况：全为0；全为1；其他。

1、其他情况。。。

和想象中的不同，这种情况下指数并非以二进制补码的形式直接存储的，不过，无论怎样，它必须是一个有符号数，因为显然存在指数为负数的情况。

我们把指数存储的实际位模式当成一个无符号数，其值为e；而指数的实际值为E，那么E = e - Bias，Bias是一个偏移值，大小为2 ^ (k - 1) - 1，k是指数所占的位的长度。计算可知，对于单精度，Bias=127；对于双精度，Bias=1023。

由于此时e不全为0且不全为1，那么E的范围就是：-126～+127（单精度）或-1022～+1023（双精度）。

此时，尾数就只存储小数点右边的小数部分，而左边的部分默认为1。尾数的实际值 M=1+f，其中 f 是将实际存储的位模式转换成小数得到的值，有0<= f < 1 。

2、全为0

这时，E = 1 - Bias = -126 或 -1022；而M = f 。

在上面那种情况下，我们是无法表示0.0的，因为M 总是默认大于等于1。现在，我们只需要将f 的位模式全部置为0，就可以表示0了。然而麻烦的是，还有一个符号位，IEEE规定，+0.0和-0.0并不完全相同。

3、全为1

此时，若尾数的位模式也全为0，则这个浮点数被解读成无穷，根据符号位，还分为正无穷和负无穷；若尾数的位模式不全为0，那么这个浮点数被解读为NaN，即not a number，比如对-1求平方根，就会返回这样的结果。

四、运算与类型转换

1、舍入

由于长度的限制，浮点数只能近似的表示实数。当一个实数超出浮点数所能表示的精度范围时，我们需要一种方式来舍弃一部分数值来得到一个近似值。比如，用2.0来表示1.99999。

IEEE定义了四种舍入方式：向上舍入、向下舍入、向零舍入、向偶舍入。一张图说明（《深入理解计算机系统》）：

2、运算

最重要的一点就是：浮点数加法运算不具有结合性！无论加法还是乘法。

比如，假入n是一个非常大的浮点数，那么：3.14 + (n - n) = 3.14, 而3.14 + n - n = 0

其他的就没有什么特殊之处了，只是最后结果可能会被舍入。

3、C语言中的类型转换

C语言提供了两种不同的浮点数据类型：float和double，可惜它们并不总是对应单精度和双精度，因为C语言标准并不要求机器使用IEEE标准。不过大多数情况下，它们是对应的。

下面是类型转换，整形以int为例（以后会补上实验）：

int转向float，数字不会溢出，但会舍入；

int、float转向double时，保留精确原值；

浮点型数据转换成int时，值会向零舍入；

double转向float，溢出成为无穷或者由于double精度太高而被舍入。