MAP（Maximum A Posteriori，最大后验准则）算法

一、意义

训练过程中，UBM通过MAP自适应，可以得到每个说话人的GMM模型。

二、算法示意图

三、算法过程

1. 与EM算法中的E-Step相同

• 已知
  a. $O=\{o_1,o_2,...,o_T\}$：某一个说话人的矢量特征。
  b. $i$：UBM的某个高斯分量。
  c. $\lambda =\{w_i,u_i,{\Sigma }_i|i=1,2,...,M\}$：UBM的参数，共有M阶高斯分量。
• 目标：计算该矢量特征序列中 每个向量 对于UBM中每个高斯分量的后验概率分布。
• 公式
  $$P(i|o_t,\lambda )=\frac{w_{i}p(o_t|u_i,{\Sigma }_i)}{{\sum }_{j=1}^M{w}_{j}p(o_t|u_j,{\Sigma }_j)}$$
• 导出公式
  a. 训练语音 属于第$i$个高斯分量的帧数（$T$：训练语音的帧数）
  $$n_i=\sum _{t=1}^{T}P(i|o_t,\lambda )$$
  b. $$E_i[o]=\frac{1}{n_i}\sum _{t=1}^{T}P(i|o_t,\lambda )o_t$$
  c. $$E_i[o{o}^T]=\frac{1}{n_i}\sum _{t=1}^{T}P(i|o_t,\lambda )o_t{o}_t^T$$

2. 用$n_i$得到的修正因子更新旧的UBM参数$\lambda$

• 已知
  a. ${\beta }_i=\frac{n_i}{n_i+\gamma }$：高斯分量的权重、均值向量、协方差矩阵的修正因子。
  作用：平衡GMM模型的新旧参数。（值越大说明数据越充分，新参数越可信）
  b. $\gamma$：关系因子。
  作用：约束修正因子${\beta }_i$的变化尺度，让所有混合权值和为1。（常取16）
• 更新公式
  a. $${\hat{w}}_i=[\frac{{\beta }_i{n}_i}{T}+(1-{\beta }_i)w_i]\gamma$$
  b. $${\hat{u}}_i={\beta }_i{E}_i[o]+(1-{\beta }_i)u_i$$
  c. $${\hat{\Sigma }}_i={\beta }_i{E}_i[o{o}^T]+(1-{\beta }_i)({\Sigma }_i+u_i{u}_i^T)-{\hat{u}}_i{\hat{u}}_i^T$$

参考论文：基于GMM-UBM模型的说话人识别系统的第39-40页。